Taylor < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich soll die Taylor Reihe von [mm] \wurzel[3]{1+x} [/mm] im Entwicklungspunkt [mm] x_0 [/mm] =0 bestimmen.
Also das Ableiten ist kein Problem, habe schon die ersten 4 Ableitungen gebildet, aber theoretisch kann ich unendlich oft ableiten. Wann soll ich aufhören?
Vielen Dank im Voraus.
|
|
| |
|
Hallo,
> ich soll die Taylor Reihe von [mm]\wurzel[3]{1+x}[/mm] im
> Entwicklungspunkt [mm]x_0[/mm] =0 bestimmen.
>
> Also das Ableiten ist kein Problem, habe schon die ersten 4
> Ableitungen gebildet, aber theoretisch kann ich unendlich
> oft ableiten. Wann soll ich aufhören?
Wenn es um eine Taylorreihe geht, im Prinzip überhaupt nicht. Praktisch in dem Moment, wenn ein explizites Bildungsgesetz für die n. Ableitung gefunden ist (was hier kein Problem sein sollte).
Anders sieht es aus, wenn du ein Taylor-Polynom berechnen möchtest: dann gibt dir die Ordnung vor, wie viele Summanden und damit auch, wie viele Ableitungen du benötigst.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:33 Di 24.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Ahh, ja, jetzt wo du es sagst, erkenne ich das Muster.
Vielen Dank.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
also ich habe die ersten 4 Ableitungen gebildet:
$$ f'(x) = [mm] \frac{1}{3}(1+x)^{-2/3} [/mm] $$
$$ f''(x) = [mm] -\frac{2}{9}(1+x)^{-5/3} [/mm] $$
$$ f'''(x) = [mm] \frac{10}{27}(1+x)^{-8/3} [/mm] $$
$$ [mm] f^{4}(x) [/mm] = [mm] -\frac{80}{81}(1+x)^{-11/3}$$
[/mm]
Ich erkenne das Muster, jedoch fehlt mir noch etwas. Das von mir erkannte Muster hat die Form:
$$ [mm] f^{(n)}(x) [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}\frac{..}{3^n}(1+x)^{-\frac{3n-1}{3}} [/mm] $$
Nur weiß ich nicht, was ich in den Zähler im ersten Bruch einsetzen soll.
Ich habe mir so eine Art Tabelle gemacht:
1. Ableitung: 1
2. Ableitung: 1*2
3. Ableitung: 1*2*5
4. Ableitung: 1*2*5*8
Aber ich checke nicht, was das für ein Muster sein soll für den Zähler. Offensichtlich wird immer mit 3 addiert und dann alles multipliziert. Ich will aber jetzt kein Produkt der Form [mm] \produkt_{i=1}^{n} [/mm] im Zähler haben. Da muss es ja einen einfacheren Weg geben.
Vielen Dank im Voraus.
|
|
|
| |
|
Da der Entwicklungspunkt [mm] x_0=0 [/mm] ist, setzt du nun noch für x den Wert 0 ein. Damit "verschwindet" der Faktor in der Klammer, weil [mm] 1^{pipapo}=1 [/mm] ist. Was übrig bleibt ist der Wert [mm] f^{(n)}(0), [/mm] und den setzt du nun in die Taylorreihe ein.
Für den Zähler nimmst du
[mm]\produkt_{i=1}^{n}(4-3i)[/mm].
Dafür musst du aber den Faktor [mm] (-1)^{n+1} [/mm] weglassen. Überprüfe das!
|
|
|
| |
|
Hallo, danke für die Antwort.
Ja, das macht Sinn. Das mit dem $ [mm] (-1)^{n+1} [/mm] $ weglassen verstehe ich auch.
Das bedeutet, dass die Bildungsvorschrift für die Ableitung an dem Entwicklungspunkt 0 so aussieht:
[mm] f^{(n)}(x)= \bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}
[/mm]
Eine Taylor-Reihe hat die allgemeine Form:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{f^{(n)}(x_0)(x-x_0)^n}{n!}
[/mm]
Sieht also bei mir dann so aus (mit [mm] x_0=0) [/mm] :
[mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}*x^n}{n!}
[/mm]
Ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
Ja, richtig. Beachte noch: Der Konvergenzradius ist R=1. Du kannst also nur -1<x<1 einsetzen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:22 Mi 25.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Danke für die Hilfe.
Zu dem Teil mit dem Konvergenzradius stelle ich morgen noch mal eine Frage.. bzw heute.
Vielen Dank bis hierhin.
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
wir haben ja jetzt die Taylor Reihe $ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!} [/mm] $
für den Entwicklungspunkt [mm] x_0= [/mm] 0
Wie kommt man jetzt auf den Konvergenzradius 1? Ich weiß, wie man den Konvergenzradius allgemein berechnen kann(Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium), aber hier habe ich ja ein Produkt stehen. Wie bekommt man da den Konvergenzradius?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo nochmal,
>
> wir haben ja jetzt die Taylor Reihe [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!}[/mm]
>
> für den Entwicklungspunkt [mm]x_0=[/mm] 0
> Wie kommt man jetzt auf den Konvergenzradius 1? Ich weiß,
> wie man den Konvergenzradius allgemein berechnen
> kann(Quotientenkriterium oder Wurzelkriterium), aber hier
> habe ich ja ein Produkt stehen. Wie bekommt man da den
> Konvergenzradius?
Das hängt durchaus miteinander zusammen, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Im vorliegenden Fall sieht es mir danach aus, dass
[mm]r= \lim_{n\rightarrow\infty} \left\vert \frac{a_n}{a_{n+1}} \right\vert[/mm]
der richtige Ansatz ist.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Hallo,
dann muss ich meine gegebene Taylor-Reihe umschreiben, also das [mm] a_n [/mm] muss "zu sehen" sein.
$ [mm] \summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!} [/mm] $
[mm] =\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!} [/mm] * [mm] \produkt_{i=1}^{n}(4-3i)*x^n
[/mm]
Damit ist mein [mm] a_n [/mm] = [mm] \bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!} [/mm] und ich kann das Quotientenkriterium anwenden, oder?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo,
>
> dann muss ich meine gegebene Taylor-Reihe umschreiben, also
> das [mm]a_n[/mm] muss "zu sehen" sein.
>
> [mm]\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{\bruch{ \produkt_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n}\cdot{}x^n}{n!}[/mm]
>
> [mm]=\summe_{n=0}^{\infty} \bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!}[/mm] *
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(4-3i)*x^n[/mm]
>
> Damit ist mein [mm]a_n[/mm] = [mm]\bruch{(\bruch{1}{3^n})}{n!}[/mm] und ich
> kann das Quotientenkriterium anwenden, oder?
Nein:
[mm]a_n= \frac{ \prod_{i=1}^{n}(4-3i) }{3^n*n!}[/mm]
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:56 Mi 25.01.2017 | | Autor: | pc_doctor |
Hallo,
ah okay, ich verstehe. Okay, da kommt dann wirklich 1 raus. Vielen vielen Dank.
|
|
|
|
