Untersumme berechnen < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es sei [mm] f:\IR\to\IR, t\to f(t)=t^4 [/mm] gegeben. Für jedes n ist die Partition des Intervalls [1,4] durch [mm] P_n=<4^\bruch{0}{n},4^\bruch{1}{n},4^\bruch{2}{n},...,4^\bruch{n}{n}> [/mm] definiert.
Berechne die Untersumme. |
Hallo, ich komm bei der Aufgabe nicht wirklich weiter.
Also die Untersumme berechnet man ja mit:
[mm] U=\summe_{k=1}^{n}f(t_{k-1})\cdot(t_k-t_{k-1}).
[/mm]
Die Folge [mm] t_k=4^\bruch{k}{n} [/mm] für [mm] 0\le k\le [/mm] n erfasst ja die Punkte in der Partition.
Also ist die Folge der Abstände in der Partition: [mm] t_k-t_{k-1}=4^\bruch{k}{n}-4^\bruch{k-1}{n}.
[/mm]
Als nächstes berechne ich [mm] f(t_{k-1})=4^\bruch{4(k-1)}{n}.
[/mm]
Wenn ich das in die Formel einsetze erhalte ich:
U(f, [mm] P_n)=\summe_{k=1}^{n}4^\bruch{4(k-1)}{n}\cdot(4^\bruch{k}{n}-4^\bruch{k-1}{n})=\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5k-4}{n}-4^\bruch{5k-5}{n}).
[/mm]
Nun weiß ich allerdings nicht wie ich damit [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}U(f, P_n) [/mm] berechnen soll.
Vielleicht kann ja jemand helfen,
Gruß
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 Mo 26.09.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
1. [mm] \Delta t=4^{k/n}*(4^{1/n}-1)
[/mm]
2. mit f multiplizieren, dann [mm] 4^{-5/n} [/mm] und die Klammer oben vor die Summe ziehen, dann hast du ne geometrische Reihe , die du summieren kannst und dann den GW bilden.
Gruß leduart
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Hallo,
ok also [mm] t_{k+1}-t_k=4^\bruch{k+1}{n}-4^\bruch{k}{n}=4^\bruch{k}{n}(4^\bruch{1}{n}-1).
[/mm]
Der Funktionswert ist [mm] f(t_k)=f(4^\bruch{k}{n})=4^\bruch{4k}{n}.
[/mm]
Die Untersumme lautet also:
[mm] U=\summe_{k=1}^{n} 4^\bruch{4k}{n}\cdot4^\bruch{k}{n}(4^\bruch{1}{n}-1)=\summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n}(4^\bruch{1}{n}-1)=(4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n}.
[/mm]
Aber wie forme ich [mm] \summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n} [/mm] so um, dass ich eine geometrische Reihe mit [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k [/mm] bekomme ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:36 Di 27.09.2016 | | Autor: | fred97 |
$ [mm] \summe_{k=1}^{n}4^\bruch{5k}{n} =\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k$
[/mm]
FRED
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hallo, ja das hab ich schon versucht aber bin da auch nicht weiter gekommen ...
also die geometrische reihe lautet doch mit dem startwert k=1 [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{aq}{1-q}.
[/mm]
also [mm] (4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}.
[/mm]
Der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}} [/mm] entspricht aber nicht der richtigen Untersumme.
kann mir da noch jemand nen tipp geben ? :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:38 Mi 28.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> hallo, ja das hab ich schon versucht aber bin da auch nicht
> weiter gekommen ...
>
> also die geometrische reihe lautet doch mit dem startwert
> k=1 [mm]\summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{aq}{1-q}.[/mm]
Das ist doch Unfug !
Für q [mm] \ne [/mm] 1 und n [mm] \in \IN [/mm] ist [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{q}{1-q}(q^n-1)
[/mm]
Edit: es lautet natürlich [mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{q}{q-1}(q^n-1)
[/mm]
endliche(!) geometrische Reihe mit Startwert k=1.
Für |q|<1 ist [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k=\bruch{q}{1-q}
[/mm]
unendliche(!) geometrische Reihe mit Startwert k=1.
FRED
>
> also
> [mm](4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}.[/mm]
>
> Der Grenzwert
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty}\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}[/mm]
> entspricht aber nicht der richtigen Untersumme.
>
> kann mir da noch jemand nen tipp geben ? :)
>
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aber [mm] \summe_{k=1}^{\infty}q^k=\bruch{q}{1-q} [/mm] ergibt doch genau das was ich gemacht hab ?!
[mm] (4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}} [/mm] für [mm] n\to\infty.
[/mm]
und da stimmt (wie gesagt) der grenzwert nicht ..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:52 Mi 28.09.2016 | | Autor: | fred97 |
> aber [mm]\summe_{k=1}^{\infty}q^k=\bruch{q}{1-q}[/mm] ergibt doch
> genau das was ich gemacht hab ?!
>
> [mm](4^\bruch{1}{n}-1)\summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k=\bruch{(4^\bruch{1}{n}-1)\cdot 4^\bruch{5}{n}}{1-4^\bruch{5}{n}}[/mm]
Das stimmt nicht !
> für [mm]n\to\infty.[/mm]
>
> und da stimmt (wie gesagt) der grenzwert nicht ..
Ich hatte mich oben verschrieben. Korrekt ist
[mm] \summe_{k=1}^{n}q^k=\bruch{q}{q-1}(q^n-1) [/mm] (q [mm] \ne [/mm] 1)
Für [mm] \summe_{k=1}^{n}(4^\bruch{5}{n})^k [/mm] benutze diese Formel.
FRED
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