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Ableitung: Kontrolle
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:03 Mi 25.09.2013
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Bilde die erste und zweite Ableitung von f(x)= [mm] 2x^2*e^{-x} [/mm]

Hallo, ich bin mir nicht ganz sicher, ob mir bei der Ableitung alles richtig gemacht habe und wäre sehr dankbar, wenn sich jemand findet, der mal drüberschaut.

f(x)= [mm] 2x^2*e^{-x} [/mm]

Nach der Produktregel

f(x)´ = [mm] 4x*e^{-x}-e^{-x}*2x^2 [/mm]


f(x)´´= [mm] 4*e^{-x}+(-e^{-x})*4x+e^{-x}+2x^2+4x*(-e^{-x}) [/mm]

Würde mich freuen, wenn jemand die Zeit findet es zu kontrollieren, danke im voraus


        
Bezug
Ableitung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:12 Mi 25.09.2013
Autor: Diophant

Hallo,

> Bilde die erste und zweite Ableitung von f(x)= [mm]2x^2*e^{-x}[/mm]
> Hallo, ich bin mir nicht ganz sicher, ob mir bei der
> Ableitung alles richtig gemacht habe und wäre sehr
> dankbar, wenn sich jemand findet, der mal drüberschaut.

>

> f(x)= [mm]2x^2*e^{-x}[/mm]

>

> Nach der Produktregel

>

> f(x)´ = [mm]4x*e^{-x}-e^{-x}*2x^2[/mm]

>

Das ist richtig. Allerdings wäre es bei diesem Typ von Funktion ('Polynom mal e-Funktion') von großem Vorteil, wenn man noch die Exponentialfunktion ausklammern würde, also etwa

[mm] f'(x)=2*(2x-x^2)*e^{-x} [/mm]

schreiben würde. Das erleichtert insbesondere deutlich das weitere Ableiten, die Lösung der Gleichung f'(X)=0 sowie die Einschätzung, wo f' positiv bzw. negativ ist.

>

> f(x)´´= [mm]4*e^{-x}+(-e^{-x})*4x+e^{-x}+2x^2+4x*(-e^{-x})[/mm]

>

Und hier ist dir jetzt prompt ein Fehler unterlaufen (könnte aber ein Tippfehler sein):

[mm] f''(x)=4*e^{-x}-4x*e^{-x}+x^2*e^{-x}-4x*e^{-x} [/mm]

Also beim dritten Summanden ein 'Mal' statt dem 'Plus', beim vierten Summanden ein Vorzeichenfehler.

Fasse auch das hier noch durch Faktorisieren zusammen und probiere doch nochmal zur Kontrolle spaßeshalber, meine Version abzuleiten. :-)


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Ableitung: Faktorisierung 2. Ableitung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:31 Do 26.09.2013
Autor: Windbeutel

Danke Diophant,

war tatsächlich nur ein Tippfehler.

Hab nun mal versucht zu Faktoriesieren, da bin ich jedoch nicht so toll drin.
Dabei bin ich auf folgendes gekommen:

f(x)´´= [mm] 4(1-x)e^{-x}+ 2(x^{2}-2x)e^{-x} [/mm]

Ich bin mir nur nicht ganz sicher, ob das die "kompakteste" lösung ist. Gibt es in solch einem Fall eine Möglichkeit, die Ableitungsfunktion weiter zusammen zu fassen, Z.B. so, dass sie nicht mehr aus zwei Summanden besteht?



Bezug
                        
Bezug
Ableitung: ausklammern
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:03 Do 26.09.2013
Autor: Roadrunner

Hallo Windbeutel!


>  Dabei bin ich auf folgendes gekommen:
>  
> f(x)´´= [mm]4(1-x)e^{-x}+ 2(x^{2}-2x)e^{-x}[/mm]

[ok] Das sieht gut aus.

Nun kannst Du hier z.B. [mm] $e^{-x}$ [/mm] ausklammern und anschließend in der großen Klammern weiter zusammenfassen:

$f''(x) \ = \ [mm] e^{-x}*\left[4*(1-x)+2*\left(x^2-2x\right)\right] [/mm] \ = \ [mm] e^{-x}*\left[ \ ... \ \right]$ [/mm]


Gruß vom
Roadrunner

Bezug
                                
Bezug
Ableitung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:27 Do 26.09.2013
Autor: Windbeutel

Danke für eure Hilfe

Bezug
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