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Anordnung Schachbrett: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:18 Di 08.04.2014
Autor: Richie1401

Aufgabe
Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, acht Türme auf einem Schachbrett

(a) zu platzieren
(b) so zu platzieren, dass kein Turm einen anderen schlagen kann.
(c) so zu platzieren, dass zumindest ein Turm einen anderen schlagen kann.
(d) Wie lassen sich die unter (a), (b) und (c) formulierten Fragen beantworten, wenn anstelle eines Schachbrettes aus 8 Zeilen und 8 Spalten sowie 8 Türmen ein Schachbrett aus n Zeilen und z Spalten sowie genau n Türme betrachtet werden [mm] (n\in\IN, n\ge2)? [/mm]

Hallo,

wäre super, wenn mir bei obiger Aufgabe mal hilft, bzw. korrigiert.

Meine Ideen waren bis jetzt:

Insgesamt gibt es [mm] n=8^2=64 [/mm] Felder, die man besetzen kann. Außerdem haben wir k=8 Türme.

(a) Es gibt [mm] \vektor{64 \\ 8}=4426165368 [/mm] Möglichkeiten.
Ist das soweit korrekt?

(b) Es gibt $8*7*6*5*4*3*2*1=8!=40320$ Möglichkeiten.

(c) Hier verstehe ich nicht wirklich, was ich rechnen soll. Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

(d) Ja, einfach neu berechnen: Wir haben dann [mm] n^2 [/mm] Felder mit n Türmen.
Somit hätten wir dann
   (a') [mm] \vektor{n^2\\n} [/mm] Möglichkeiten
   (b') n! Möglichkeiten


Joa, (c') wäre dann nochmal eine Überlegung wert, sobald man (c) berechnet hat.

Ich komme immer wieder bisschen durcheinander mit den Formuliereungen. Von daher freue ich mich über eure Unterstützung.

Vielen Dank und beste Grüße!
        
Bezug
Anordnung Schachbrett: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:43 Di 08.04.2014
Autor: tobit09

Hallo Richie!


> Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, acht Türme
> auf einem Schachbrett
>  
> (a) zu platzieren
>  (b) so zu platzieren, dass kein Turm einen anderen
> schlagen kann.
>  (c) so zu platzieren, dass zumindest ein Turm einen
> anderen schlagen kann.
>  (d) Wie lassen sich die unter (a), (b) und (c)
> formulierten Fragen beantworten, wenn anstelle eines
> Schachbrettes aus 8 Zeilen und 8 Spalten sowie 8 Türmen
> ein Schachbrett aus n Zeilen und z Spalten sowie genau n
> Türme betrachtet werden [mm](n\in\IN, n\ge2)?[/mm]

Heißt es bei d) "$z$ Spalten" oder "$n$ Spalten"?


> Insgesamt gibt es [mm]n=8^2=64[/mm] Felder, die man besetzen kann.
> Außerdem haben wir k=8 Türme.

[ok]


> (a) Es gibt [mm]\vektor{64 \\ 8}=4426165368[/mm] Möglichkeiten.
>  Ist das soweit korrekt?

[ok]


> (b) Es gibt [mm]8*7*6*5*4*3*2*1=8!=40320[/mm] Möglichkeiten.

[ok]


> (c) Hier verstehe ich nicht wirklich, was ich rechnen soll.
> Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?

Von den [mm] $\vektor{64 \\ 8}$ [/mm] Möglichkeiten die Türme zu platzieren kann bei 8! Möglichkeiten kein Turm einen anderen schlagen.
Demzufolge kann genau bei den übrigen [mm] $\vektor{64 \\ 8}-8!$ [/mm] Möglichkeiten mindestens ein Turm einen anderen schlagen.


> (d) Ja, einfach neu berechnen: Wir haben dann [mm]n^2[/mm] Felder
> mit n Türmen.
>  Somit hätten wir dann
>     (a') [mm]\vektor{n^2\\n}[/mm] Möglichkeiten
>     (b') n! Möglichkeiten

Wenn es in der Aufgabenstellung "$n$ Spalten" heißt: [ok]


Viele Grüße
Tobias
Bezug
                
Bezug
Anordnung Schachbrett: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:20 Mi 09.04.2014
Autor: Richie1401

Hi Tobias,

herzlichen Dank für deine Antwort.

> Hallo Richie!
>  
>
> > Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, acht Türme
> > auf einem Schachbrett
>  >  
> > (a) zu platzieren
>  >  (b) so zu platzieren, dass kein Turm einen anderen
> > schlagen kann.
>  >  (c) so zu platzieren, dass zumindest ein Turm einen
> > anderen schlagen kann.
>  >  (d) Wie lassen sich die unter (a), (b) und (c)
> > formulierten Fragen beantworten, wenn anstelle eines
> > Schachbrettes aus 8 Zeilen und 8 Spalten sowie 8 Türmen
> > ein Schachbrett aus n Zeilen und z Spalten sowie genau n
> > Türme betrachtet werden [mm](n\in\IN, n\ge2)?[/mm]
>  Heißt es bei
> d) "[mm]z[/mm] Spalten" oder "[mm]n[/mm] Spalten"?

Ich arbeite mit einer qwertz-tastatur, und dennoch ist mir dieser Fehler unterlaufen. Ja, es sollte n Spalten bedeuten. Sorry dafür.
>  
>
> > Insgesamt gibt es [mm]n=8^2=64[/mm] Felder, die man besetzen kann.
> > Außerdem haben wir k=8 Türme.
>  [ok]
>  
>
> > (a) Es gibt [mm]\vektor{64 \\ 8}=4426165368[/mm] Möglichkeiten.
>  >  Ist das soweit korrekt?
>  [ok]
>  
>
> > (b) Es gibt [mm]8*7*6*5*4*3*2*1=8!=40320[/mm] Möglichkeiten.
>  [ok]
>  
>
> > (c) Hier verstehe ich nicht wirklich, was ich rechnen soll.
> > Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>  Von den [mm]\vektor{64 \\ 8}[/mm] Möglichkeiten die Türme zu
> platzieren kann bei 8! Möglichkeiten kein Turm einen
> anderen schlagen.
>  Demzufolge kann genau bei den übrigen [mm]\vektor{64 \\ 8}-8![/mm]
> Möglichkeiten mindestens ein Turm einen anderen schlagen.

Das mag mir nicht in den Sinn kommen. Warum gerade 8 Fakultät? Wegen den 8 Zeilen und 8 Spalten?

Eigentlich habe ich nur probleme mit dieser Formulierung ;-)
>  
>
> > (d) Ja, einfach neu berechnen: Wir haben dann [mm]n^2[/mm] Felder
> > mit n Türmen.
>  >  Somit hätten wir dann
>  >     (a') [mm]\vektor{n^2\\n}[/mm] Möglichkeiten
>  >     (b') n! Möglichkeiten
>  Wenn es in der Aufgabenstellung "[mm]n[/mm] Spalten" heißt: [ok]

Super, Danke.

Dann noch einmal die Rückfrage: So wäre

   (c') [mm] \vektor{n^2\\n}-n! [/mm] Möglichkeiten


Viele Grüße!

Bezug
                        
Bezug
Anordnung Schachbrett: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:40 Mi 09.04.2014
Autor: tobit09


> > > Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, acht Türme
> > > auf einem Schachbrett
>  >  >  
> > > (a) zu platzieren
>  >  >  (b) so zu platzieren, dass kein Turm einen anderen
> > > schlagen kann.
>  >  >  (c) so zu platzieren, dass zumindest ein Turm einen
> > > anderen schlagen kann.
>  >  >  (d) Wie lassen sich die unter (a), (b) und (c)
> > > formulierten Fragen beantworten, wenn anstelle eines
> > > Schachbrettes aus 8 Zeilen und 8 Spalten sowie 8 Türmen
> > > ein Schachbrett aus n Zeilen und z Spalten sowie genau n
> > > Türme betrachtet werden [mm](n\in\IN, n\ge2)?[/mm]


> > > (a) Es gibt [mm]\vektor{64 \\ 8}=4426165368[/mm] Möglichkeiten.
>  >  >  Ist das soweit korrekt?
>  >  [ok]
>  >  
> >
> > > (b) Es gibt [mm]8*7*6*5*4*3*2*1=8!=40320[/mm] Möglichkeiten.
>  >  [ok]
>  >  
> >
> > > (c) Hier verstehe ich nicht wirklich, was ich rechnen soll.
> > > Kann mir jemand auf die Sprünge helfen?
>  >  Von den [mm]\vektor{64 \\ 8}[/mm] Möglichkeiten die Türme zu
> > platzieren kann bei 8! Möglichkeiten kein Turm einen
> > anderen schlagen.
>  >  Demzufolge kann genau bei den übrigen [mm]\vektor{64 \\ 8}-8![/mm]
> > Möglichkeiten mindestens ein Turm einen anderen schlagen.
>  
> Das mag mir nicht in den Sinn kommen. Warum gerade 8
> Fakultät? Wegen den 8 Zeilen und 8 Spalten?

Ja. Die $8!$ sind genau das Ergebnis von b), das du ja offensichtlich selbst herausgefunden hast.


Ich versuche es noch einmal mit Mengen zu erklären:


Sei $A$ die Menge aller Anordnungen von 8 Türmen auf einem gewöhnlichen Schachbrett.

Bei a) hast du überlegt: [mm] $|A|=\binom{64}{8}$. [/mm]


Sei [mm] $B:=\{a\in A\;|\;\text{bei Anordnung }a\text{ kann kein Turm einen anderen schlagen}\}$. [/mm]

Bei $b)$ hast du überlegt: $|B|=8!$.


Sei [mm] $C:=\{a\in A\;|\;\text{bei Anordnung }a\text{ kann mindestens ein Turm einen anderen schlagen}\}$. [/mm]

Gesucht ist bei $C$ die Mächtigkeit $|C|$.

Es gilt [mm] $C=A\setminus [/mm] B$.

Somit erhalten wir (unter Berücksichtigung von [mm] $B\subseteq [/mm] A$):

     [mm] $|C|=|A|-|B|=\binom{64}{8}-8!$. [/mm]


> Dann noch einmal die Rückfrage: So wäre
>  
> (c') [mm]\vektor{n^2\\n}-n![/mm] Möglichkeiten

[ok]
Bezug
                                
Bezug
Anordnung Schachbrett: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:03 Mi 09.04.2014
Autor: Richie1401

Vielen Dank, Tobias!
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