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Forum "Aussagenlogik" - Belegung, oder, Folgerung
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Belegung, oder, Folgerung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:47 Mi 06.04.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Aussagenlogik:(http://www.logic.univie.ac.at/~muellem3/aussagenlogik.pdf) Seite 2

Definition: Eine Funktion $ [mm] \beta: [/mm] $ Var $ [mm] \rightarrow \{0,1\} [/mm] $ heißt aussagenlogische Belegung
Definition: Wir definieren eine Relation $ [mm] \models [/mm] $ durch folgende Festsetzung. Nämlich, $ [mm] \models [/mm] $ ist die Relation zwischen belegungen und Formeln, so daß für alle Belegungen $ [mm] \beta [/mm] $ und alle Formeln $ [mm] \psi, \chi [/mm] $ und alle Variablen X gelte
(a) $ [mm] \beta \models [/mm] $ X genau dann wenn $ [mm] \beta(X)=1 [/mm] $
(b) $ [mm] \beta \models \neg \psi [/mm] $ genau dann wenn $ [mm] \beta \not\models \psi [/mm] $
(c) $ [mm] \beta \models (\psi \wedge \chi) [/mm] $ genau dann wenn $ [mm] \beta \models \psi [/mm] $ oder $ [mm] \beta \models \chi [/mm] $

ÜE:
Für die Formeln [mm] \phi, \psi [/mm] schreiben wir [mm] (\phi \vee \psi) [/mm] für [mm] \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi), [/mm] und [mm] (\phi \rightarrow \psi) [/mm] für [mm] \neg(\phi \wedge \neg \psi). [/mm]
Zeigen Sie dann gilt für alle belegungen [mm] \beta: [/mm]
[mm] \beta \models (\phi \vee \psi) [/mm] gdw [mm] \beta \models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi [/mm]
sowie [mm] \beta \models (\phi \rightarrow \psi) [/mm] gdw wenn [mm] \beta \models \phi [/mm] so [mm] \beta \models \psi [/mm]

Hallo,
Ich bin unsicher wie man das zeigt. Eigentlich sollte man ja nur straight forward die Definition anwenden?
[mm] \beta \models (\phi \vee \psi) [/mm]
[mm] \iff \beta \models \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi) [/mm]
[mm] \iff \beta \not\models (\neg \phi \wedge \neg \psi) [/mm]
Und nun weiß ich nicht wie ich weiter vorgehen soll wegen der Negation des [mm] \models [/mm] Symbols. Das steht so ja nicht in der Definition bei der Konjugation.

Dann hab ich versucht mit der rekursive Definition in meinen anderen Post zu arbeiten:
[mm] R(\beta, \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi))=1 [/mm]  für  [mm] R(\beta, (\neg \phi\wedge \neg \psi))=0 [/mm]
[mm] R(\beta,( \neg \phi\wedge \neg \psi))=0 [/mm] für [mm] R(\beta, \neg \phi)=0 [/mm] oder [mm] R(\beta, \neg \psi)=0 [/mm]
[mm] R(\beta, \neg \phi)=0 [/mm] oder [mm] R(\beta, \neg \psi)=0 [/mm] für [mm] R(\beta, \phi)=1 [/mm] oder [mm] R(\beta, \psi)=1 [/mm]
Das bedeutet [mm] \beta \models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi [/mm]

[mm] R(\beta,\neg(\phi \wedge \neg \psi))=1 [/mm] für [mm] R(\beta,(\phi \wedge \neg \psi))=0 [/mm]
[mm] R(\beta,(\phi \wedge \neg \psi))=0 [/mm] für [mm] R(\beta,\phi)=0 [/mm]  oder [mm] R(\beta,\neg \psi)=0 [/mm]
[mm] R(\beta,\phi)=0 [/mm]  oder [mm] R(\beta,\neg \psi)=0 [/mm]  für [mm] R(\beta,\neg \phi)=1 [/mm] oder [mm] R(\beta, \psi)=1 [/mm]
Das bedeutet [mm] \beta \models \neg \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi. [/mm]

Über Hilfe würde ich mich freuen!
LG,
sissi

        
Bezug
Belegung, oder, Folgerung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:59 Mi 06.04.2016
Autor: hippias

Die Verwendung des Zeichens [mm] $\not \models$ [/mm] in der Definition halte ich für ungeschickt. Daher kann ich Deine Probleme verstehen. Es wäre besser zu sagen, dass [mm] $\beta\models \neg \psi$ [/mm] genau dann, wenn nicht [mm] $\beta\models \psi$. [/mm] Damit, und mit den üblichen Regeln der Logik, sollte der Beweis wieder "straight forward" sein.

Bezug
                
Bezug
Belegung, oder, Folgerung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:34 Mi 06.04.2016
Autor: sissile

Danke für den Post. Trotzdem werde ich das mal so weiterverwenden wie in dem Skriptum.

Mein Versuch:
[mm] 1)\beta \models \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi) \iff \beta \not\models (\neg \phi \wedge \neg \psi) [/mm]
[mm] \iff \beta \not\models \neg \phi [/mm] oder [mm] \beta \not\models \neg \psi [/mm]
[mm] \iff \beta \models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi [/mm]

2)
[mm] \beta \models (\phi \rightarrow \psi) \iff \beta \models \neg(\phi \wedge \neg \psi) [/mm]
[mm] \iff \beta \not\models (\phi \wedge \neg \psi) [/mm]
[mm] \iff \beta \not\models \phi [/mm] oder [mm] \beta \not\models \neg \psi [/mm]
[mm] \iff \beta \not\models \phi [/mm] oder [mm] \beta \models \psi [/mm]

Frage1:
Wenn man zeigen möchte das eine Formel [mm] \epsilon [/mm] allgemeingültig ist, muss ja [mm] \beta \models \epsilon [/mm] für jede Belegung [mm] \beta [/mm] gelten.
Nun wäre 1) bei der Belegung [mm] \beta \not\models \phi [/mm] und [mm] \beta \not\models \psi [/mm] die Formel nicht gültig, also ist die Formeln nicht allgemeingültig.
Eine solche Formel wäre nur allgemeingültig wenn für die 4 Möglichkeiten:
-) [mm] \beta \models \phi [/mm] und [mm] \beta \not\models \psi [/mm]
-) [mm] \beta \models \phi [/mm] und [mm] \beta \models \psi [/mm]
-) [mm] \beta \models \psi [/mm] und [mm] \beta \not\models \phi [/mm]
-) [mm] \beta \models \phi [/mm] und [mm] \beta \models \psi [/mm]
die Formel gilt.
Ist das richtig?

Frage2:
Bei 2) erhalte ich $ [mm] \beta \not\models \phi [/mm] $ oder $ [mm] \beta \models \psi [/mm] $. Im Skript steht "wenn [mm] \beta \models \phi, [/mm] so [mm] \beta \models \psi [/mm] "
Es ist klar wenn [mm] \beta \models \phi [/mm] muss - damit die Formel gültig ist [mm] \beta \models \psi [/mm] sein, da ja [mm] \beta \not\models \phi. [/mm] Muss man das mehr begründen?

Bezug
                        
Bezug
Belegung, oder, Folgerung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Do 07.04.2016
Autor: hippias


> Danke für den Post. Trotzdem werde ich das mal so
> weiterverwenden wie in dem Skriptum.

O.K.

>  
> Mein Versuch:
>  [mm]1)\beta \models \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi) \iff \beta \not\models (\neg \phi \wedge \neg \psi)[/mm]
>  
> [mm]\iff \beta \not\models \neg \phi[/mm] oder [mm]\beta \not\models \neg \psi[/mm]
>  
> [mm]\iff \beta \models \phi[/mm] oder [mm]\beta \models \psi[/mm]
>  
> 2)
>  [mm]\beta \models (\phi \rightarrow \psi) \iff \beta \models \neg(\phi \wedge \neg \psi)[/mm]
>  
> [mm]\iff \beta \not\models (\phi \wedge \neg \psi)[/mm]
>  [mm]\iff \beta \not\models \phi[/mm]
> oder [mm]\beta \not\models \neg \psi[/mm]
>  [mm]\iff \beta \not\models \phi[/mm]
> oder [mm]\beta \models \psi[/mm]

Ich denke, dass Du damit die Aufgabe richtig gelöst hast. Beenklich finde ich aber den Gebrauch des Symbols [mm] $\iff$ [/mm] in der Metasprache; manche Leute vermeiden dies in der Logik.

>  
> Frage1:
>  Wenn man zeigen möchte das eine Formel [mm]\epsilon[/mm]
> allgemeingültig ist, muss ja [mm]\beta \models \epsilon[/mm] für
> jede Belegung [mm]\beta[/mm] gelten.
>  Nun wäre 1) bei der Belegung [mm]\beta \not\models \phi[/mm] und
> [mm]\beta \not\models \psi[/mm] die Formel nicht gültig, also ist
> die Formeln nicht allgemeingültig.
> Eine solche Formel wäre nur allgemeingültig wenn für die
> 4 Möglichkeiten:
>  ;-) [mm]\beta \models \phi[/mm] und [mm]\beta \not\models \psi[/mm]
>  ;-) [mm]\beta \models \phi[/mm]
> und [mm]\beta \models \psi[/mm]
>  ;-) [mm]\beta \models \psi[/mm] und [mm]\beta \not\models \phi[/mm]
>  
> -) [mm]\beta \models \phi[/mm] und [mm]\beta \models \psi[/mm]
>  die Formel
> gilt.
>  Ist das richtig?

Ich verstehe dies nicht ganz. Ob [mm] $\phi \vee \psi$ [/mm] allgemeingültig ist, hängt ja insbesondere von [mm] $\psi$ [/mm] und [mm] $\phi$ [/mm] ab. Ist etwa $x$ eine Variable und [mm] $\phi= x\equiv [/mm] x$ und [mm] $\psi= \neg \phi$, [/mm] so ist [mm] $\phi\vee \psi= \neg(\neg \phi \wedge \neg \psi)$ [/mm] allgemeingültig.

>  
> Frage2:
>  Bei 2) erhalte ich [mm]\beta \not\models \phi[/mm] oder [mm]\beta \models \psi [/mm].
> Im Skript steht "wenn [mm]\beta \models \phi,[/mm] so [mm]\beta \models \psi[/mm]
> "
>  Es ist klar wenn [mm]\beta \models \phi[/mm] muss - damit die
> Formel gültig ist [mm]\beta \models \psi[/mm] sein, da ja [mm]\beta \not\models \phi.[/mm]
> Muss man das mehr begründen?

Ich glaube nicht.

Bezug
                                
Bezug
Belegung, oder, Folgerung: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:05 Do 07.04.2016
Autor: sissile


> Ich denke, dass Du damit die Aufgabe richtig gelöst hast. Beenklich finde ich aber den Gebrauch des Symbols $ [mm] \iff [/mm] $ in der Metasprache; manche Leute vermeiden dies in der Logik.

Okay, also schreibe ich anstelle [mm] \iff [/mm] einfach den Ausdruck genau dann wenn?

Zu Frage 1 ich hab die Aufgabe mal seperat gestellt - da wird klar was ich genau fragen wollte!

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