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Forum "Integralrechnung" - Integral von 1/(1+e^x) dx
Integral von 1/(1+e^x) dx < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Integral von 1/(1+e^x) dx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:34 Do 25.06.2015
Autor: jengo32

Aufgabe
[mm] \integral{\bruch{1}{1+e^x} dx} [/mm]

Hallo,

ich komme bei obiger Aufgabe nicht auf die Musterlösung und würde gerne von euch meine Lösung auf Fehler überprüfen lassen.

Ich möchte das Integral mit der Substitutionsmethode lösen.

Substituiert wird [mm] 1+e^x: [/mm]

[mm] z=1+e^x [/mm]
[mm] \bruch{dz}{e^x}=dx [/mm]

wenn [mm] z=1+e^x [/mm] ist, dann ist [mm] 1=z-e^x [/mm]

Daraus ergibt sich:

[mm] \integral{\bruch{z-e^x}{z}\bruch{dz}{e^x} } [/mm]

Das ist wiederum

[mm] \integral{\bruch{z}{ze^x}dz }-\integral{\bruch{e^x}{ze^x}dz } [/mm]

Und das ist doch nichts anderes als:

[mm] \integral{ \bruch{1}{e^x} dz } [/mm] - [mm] \integral{\bruch{1}{z}dz } [/mm]

F(X) = [mm] -e^{-x}-ln(1+e^x)+c [/mm]


Aber irgendwas stimmt hier nicht...

Bin auf eure Antworten gespannt :-)

LG

        
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:37 Do 25.06.2015
Autor: jengo32

Eventuell habe ich den Fehler selber gefunden.


> [mm]\integral{ \bruch{1}{e^x} dz }[/mm] - [mm]\integral{\bruch{1}{z}dz }[/mm]

Da ich ja dz betrachte und nicht mehr dx, kann ich nicht [mm] \bruch{1}{e^x} [/mm] zu -e^(-x) ableiten, richtig? ich müsste [mm] e^x [/mm] vorher mit (z-1) eventuell substituieren?



Bezug
                
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:43 Do 25.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Eventuell habe ich den Fehler selber gefunden.
>  
>
> > [mm]\integral{ \bruch{1}{e^x} dz }[/mm] - [mm]\integral{\bruch{1}{z}dz }[/mm]
>  
> Da ich ja dz betrachte und nicht mehr dx, kann ich nicht
> [mm]\bruch{1}{e^x}[/mm] zu -e^(-x) ableiten, richtig? ich müsste
> [mm]e^x[/mm] vorher mit (z-1) eventuell substituieren?

korrekt, auch wenn es etwas wirr ist, was du schreibst.
Nach einer Substitution darf keine alte Variable mehr vorkommen. In deinem Fall halt das x.

Schneller geht es, wenn du das so schreibst:

$z = 1 + [mm] e^x$ [/mm]
$dz = [mm] e^x [/mm] dx = (z-1) dx$

d.h. du erhältst:

[mm] $\int \bruch{1}{z(z-1)} [/mm] dz$

Du kannst ja mal auch nur [mm] $z=e^x$ [/mm] Substituieren. Was erhältst du dann? Wieso ist das konsistent?

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:00 Do 25.06.2015
Autor: jengo32


>  
> d.h. du erhältst:
>  
> [mm]\int \bruch{1}{z(z-1)} dz[/mm]
>  

Das kann ich soweit nachvollziehen.

Könnte ich hier dann nicht einfach mit Partialbruchzerlegung weitermachen?

[mm] \bruch{A}{z} [/mm] + [mm] \bruch{B}{z-1} [/mm]

Für A würde ich -1 bekommen und B = 1

Somit:

[mm] -1\integral{\bruch{1}{z} dz} [/mm]  + [mm] \integral{\bruch{1}{z-1} dz} [/mm]

F(x) = -ln(z)+ln(z-1)+c

F(x) = [mm] -ln(1+e^x)+ln(e^x)+c [/mm] ?

Bezug
                                
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:06 Do 25.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Könnte ich hier dann nicht einfach mit
> Partialbruchzerlegung weitermachen?

[ok]  

> Für A würde ich -1 bekommen und B = 1

[ok]

> Somit:
>  
> [mm]-1\integral{\bruch{1}{z} dz}[/mm]  + [mm]\integral{\bruch{1}{z-1} dz}[/mm]
>  
> F(x) = -ln(z)+ln(z-1)+c
>  
> F(x) = [mm]-ln(1+e^x)+ln(e^x)+c[/mm] ?

[ok]

Das kannst du doch noch vereinfachen.
Logarithmusgesetze!

Gruß,
Gono

Bezug
                                        
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:12 Do 25.06.2015
Autor: jengo32


>  >  
> > F(x) = [mm]-ln(1+e^x)+ln(e^x)+c[/mm] ?
> [ok]
>  
> Das kannst du doch noch vereinfachen.
>  Logarithmusgesetze!
>  
> Gruß,
>  Gono

[mm] ln(\bruch{e^x}{1+e^x})+c [/mm]

Wie kommt es zustande, dass es mehrere Lösungen gibt? Liegt das an der Konstante C ?

Mir ist nämlich noch nicht wirklich klar warum

[mm] ln(e^x-1)+x+c [/mm] ebenso eine lösung ist...

Danke für die Hilfe :-) :D

Gruß Jengo

Bezug
                                                
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:29 Do 25.06.2015
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> [mm]ln(\bruch{e^x}{1+e^x})+c[/mm]

[ok]

Oder eben: [mm] $-\ln(1+e^x) [/mm] + x + c$  

> Mir ist nämlich noch nicht wirklich klar warum
>
> [mm]ln(e^x-1)+x+c[/mm] ebenso eine lösung ist...

Ist es nicht. Wie kommst du darauf?

Gruß,
Gono

Bezug
                                                        
Bezug
Integral von 1/(1+e^x) dx: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:32 Do 25.06.2015
Autor: jengo32


> Hiho,
>  
> > [mm]ln(\bruch{e^x}{1+e^x})+c[/mm]
>  [ok]
>  
> Oder eben: [mm]-\ln(1+e^x) + x + c[/mm]  
>
> > Mir ist nämlich noch nicht wirklich klar warum
> >
> > [mm]ln(e^x-1)+x+c[/mm] ebenso eine lösung ist...
>  
> Ist es nicht. Wie kommst du darauf?
>  
> Gruß,
>  Gono

Ich habe mich in der Zeile geirrt :-). Hat sich alles erledigt und geklärt, vielen Dank noch mal :-)

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