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Integralberechnung: Rechenweg erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:59 Mo 06.01.2014
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Berechne das folgende uneigendliche Integral, falls möglich
[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx} [/mm]

Hallo,
ich habe zwar die Lösung für diese Aufgabe, leider ist der Lösungsweg nur bruchstückhaft im Heft und ich verstehe ihn so nicht.

Mein Weg bisher

[mm] \integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx} [/mm] =

[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{1}^{a}{f(2e^{-x}) dx} [/mm] =

[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2e^{-x}\end{bmatrix} [/mm]
wobei am Ende der eckigen Klammer oben eine a ud unten eine 1 stehen muss (sorry ich habe nicht herausbekommen wie man das hier hinbekommt).

So richtig nachvllziehen ( d.h die notwendige Rechnung anstellen ) kann ich diesen Schritt nicht. Ich habe versucht eine Seite zu finden die mir erklärt wie man die Stammfunktion von [mm] e^{-x} [/mm] errechnet, leider fand ich  nur welche, die mir [mm] e^{x} [/mm] erklärten.

Mein nächster Schritt sieht dann so aus:

[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] (( [mm] -2e^{-a}) [/mm] - (- [mm] 2e^{-1}) [/mm] =

[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] -2e^{-a}+2e^{-1}) [/mm]

Damit komme ich zu meinem nächsten Problem.
in der Lösung findet sich in diesem Schritt das Minus vor der ersten 2 nicht
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty} [/mm] ( [mm] 2e^{-a}+2e^{-1}). [/mm]
Mir ist jedoch nicht klar, wie dieses verloren geht.

Damit zum, letzten Schritt, denn ich garnicht mehr nachvollziehen kann.
Als Ergebnis wird dann [mm] \bruch{2}{e}. [/mm]
angegeben.

Ich verstehe aber schon nicht, wie ich hier subtrahieren muss. E-funtionen sind nicht gerade meine Stärke .

Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir die Problematik genau zu erläutern. Ausserdem würde ich mich über Hinweise zu Internettseiten freuen, welche den Umgang mit e -Funktionen und der eulerischen Zahl idiotensicher erklären.

Danke im voraus



        
Bezug
Integralberechnung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:15 Mo 06.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Berechne das folgende uneigendliche Integral, falls
> möglich
> [mm]\integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx}[/mm]

sicherlich meinst du dieses INtegral:

[mm] \int_{1}^{\infty}{2e^{-x} dx} [/mm]

> ich habe zwar die Lösung für diese Aufgabe, leider ist
> der Lösungsweg nur bruchstückhaft im Heft und ich
> verstehe ihn so nicht.

>

> Mein Weg bisher

>

> [mm]\integral_{1}^{\infty}{f(2e^{-x}) dx}[/mm] =

>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \integral_{1}^{a}{f(2e^{-x}) dx}[/mm]
> =

>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2e^{-x}\end{bmatrix}[/mm]

>

> wobei am Ende der eckigen Klammer oben eine a ud unten eine
> 1 stehen muss (sorry ich habe nicht herausbekommen wie man
> das hier hinbekommt).

>

> So richtig nachvllziehen ( d.h die notwendige Rechnung
> anstellen ) kann ich diesen Schritt nicht. Ich habe
> versucht eine Seite zu finden die mir erklärt wie man die
> Stammfunktion von [mm]e^{-x}[/mm] errechnet, leider fand ich nur
> welche, die mir [mm]e^{x}[/mm] erklärten.

Leite einmal die Funktion g mit

[mm] g(x)=e^{-x} [/mm]

zweimal ab, dann wird es dir klar werden, wie man zu obiger Stammfunktion kommt.

>

> Mein nächster Schritt sieht dann so aus:

>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] (( [mm]-2e^{-a})[/mm] - (- [mm]2e^{-1})[/mm] =

>

> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]-2e^{-a}+2e^{-1})[/mm]

>

> Damit komme ich zu meinem nächsten Problem.
> in der Lösung findet sich in diesem Schritt das Minus vor
> der ersten 2 nicht
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}[/mm] ( [mm]2e^{-a}+2e^{-1}).[/mm]
> Mir ist jedoch nicht klar, wie dieses verloren geht.

Das zweifelst du auch völlig zu Recht an: die angegebene Lösung ist falsch, also deine Version richtig!

> Damit zum, letzten Schritt, denn ich garnicht mehr
> nachvollziehen kann.
> Als Ergebnis wird dann [mm]\bruch{2}{e}.[/mm]
> angegeben.

>

> Ich verstehe aber schon nicht, wie ich hier subtrahieren
> muss. E-funtionen sind nicht gerade meine Stärke .

>

Der Ausdruck [mm] e^{-a} [/mm] lässt sich bekanntlich umschreiben:

[mm] e^{-a}=\bruch{1}{e^a} [/mm]

Lässt man nun a gegen [mm] \infty [/mm] streben, so wird unmittelbar klar, dass der erste Summand in deinem Limes gegen Null geht. Verbleibt der zweite Summand und der wurde eben genau auf die gleiche Art und Weise noch umgeschrieben:

[mm] 2e^{-2}=\bruch{2}{e^2} [/mm]

> Es würde mich freuen, wenn sich jemand findet um mir die
> Problematik genau zu erläutern. Ausserdem würde ich mich
> über Hinweise zu Internettseiten freuen, welche den Umgang
> mit e -Funktionen und der eulerischen Zahl idiotensicher
> erklären.

Sie heißt die Eulersche Zahl. nach dem bedeutenden Schweizer Mathematiker []Leonhard Euler. Vielleicht hilft dir []dieser Artikel ein Stück weiter.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Integralberechnung: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:45 Di 07.01.2014
Autor: Windbeutel

Danke für deine Hilfe,
ich wäre nicht auf die Idee gekommen, dass im Heft der erste Summand, wegen seinem Streben nach Null, ohne weiteren Kommentar "verschluckt" wird.

Vielen Dank

Bezug
        
Bezug
Integralberechnung: Latex-Darstellung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:23 Mo 06.01.2014
Autor: Loddar

Hallo Windbeutel!


> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2e^{-x}\end{bmatrix}[/mm]
>
> wobei am Ende der eckigen Klammer oben eine a und unten eine
> 1 stehen muss
> (sorry ich habe nicht herausbekommen wie man das hier hinbekommt).

 
[mm]\limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2*e^{-x}\end{bmatrix}_{1}^{a}[/mm]


Gruß
Loddar

Bezug
                
Bezug
Integralberechnung: Welche Eingabe?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:51 Di 07.01.2014
Autor: Windbeutel

Aufgabe
-

Danke dir.
Was ich jedoch meinte; welche Tastenabfolge ich eingeben muss, um die Zahlen oben und unten an die eckige Klammer zu bekommen.
Das konnte ich weder bei der ausführlichen Hilfe, noch unterhalb des eingabefeldes, bei den vorgefertigten Symbolen finden.

L.G.

Bezug
                        
Bezug
Integralberechnung: Hinweis
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:12 Di 07.01.2014
Autor: Loddar

Hallo Windbeutel!


Gehe doch einfach mal mit dem Mauszeiger über die Formel:

$ [mm] \limes_{a\rightarrow\infty} \begin{bmatrix} -2\cdot{}e^{-x}\end{bmatrix}_{1}^{a} [/mm] $

Dann solltest Du am Ende das _{1}^{a} erkennen.


Gruß
Loddar

Bezug
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