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Forum "Analysis-Sonstiges" - Irrationalität \wurzel{2}
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Irrationalität \wurzel{2}: Verallgemeinerung Erklärung
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:34 Do 02.03.2017
Autor: Windbeutel

Aufgabe
Verallgemeinerung des Beweises der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid

Hallo,
ich versuche gerade die "Verallgemeinerung des Beweises der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid", wie auf Wikipedia dargestellt, zu verstehen.


Ich habe an zwei Stellen Probleme diesen Beweis zu verfolgen .

Dort heist es:

Die Beweisidee Euklids lässt sich auf den allgemeinen Fall der k-ten Wurzel aus einer beliebigen natürlichen Zahl  n, die keine  k-te Potenz ist, erweitern:

Wenn  n keine k-te Potenz ist (nicht darstellbar also [mm] n=z^{k} [/mm] für eine natürliche Zahl z, dann ist  [mm] {\sqrt[ {k}]{n}} [/mm] irrational.

Beweis: Anstelle der einfachen gerade-ungerade-Argumentation verwendet man hier allgemein die Existenz einer eindeutigen Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen. Der Beweis erfolgt wieder indirekt: Angenommen, es gelte [mm] {\sqrt[ {k}]{n}}={\tfrac ab} [/mm] mit natürlichen Zahlen a,b. Es ist zu zeigen, dass dann n eine k-te Potenz ist, d. h., dass  [mm] {\tfrac ab} [/mm] sogar eine natürliche Zahl ist. Zunächst folgt durch einfache Umformung, dass [mm] n\cdot b^{k}=a^{k} [/mm] gilt. Sei p eine beliebige Primzahl. In der Primfaktorzerlegung vonn bzw.  a bzw. b trete p genau mit der Vielfachheit [mm] e_n [/mm] bzw.  [mm] e_{a} [/mm] bzw.  [mm] e_{b} [/mm] auf.

Dann folgt sofort [mm] e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a} [/mm]

( Hier habe ich das erste Problem; warum folgt hier sofort [mm] e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a} [/mm] ? )

, wegen  [mm] e_{n}\geq [/mm] 0 auf jeden Fall also [mm] e_{b}\leq e_{a}. [/mm] Da dies für jede Primzahl  p gilt, muss b in der Tat ein Teiler von a sein, also ist [mm] {\tfrac ab} [/mm] eine natürliche Zahl und n ist deren k-te Potenz.

Einfache Folgerung aus dem Irrationalitätssatz:

[mm] {\sqrt[{n}]{n}} [/mm]

ist irrational für alle natürlichen Zahlen > 1 (weil n nicht n-te Potenz einer natürlichen Zahl > 1 sein kann).

( Hier folgt das nächste Verständnissproblem, ich verstehe nicht warum n nicht n-te Potenz einer natürlichen Zahl > 1 sein kann ?)

Es würde mich freuen, wenn mir hier jemand diese Stellen erläutern könnte. Vielen Dank im voraus.

        
Bezug
Irrationalität \wurzel{2}: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:54 Do 02.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Verallgemeinerung des Beweises der Irrationalität der
> Wurzel aus 2 bei Euklid
> Hallo,
> ich versuche gerade die "Verallgemeinerung des Beweises
> der Irrationalität der Wurzel aus 2 bei Euklid", wie auf
> Wikipedia dargestellt, zu verstehen.

>
>

> Ich habe an zwei Stellen Probleme diesen Beweis zu
> verfolgen .

>

> Dort heist es:

>

> Die Beweisidee Euklids lässt sich auf den allgemeinen Fall
> der k-ten Wurzel aus einer beliebigen natürlichen Zahl n,
> die keine k-te Potenz ist, erweitern:

>

> Wenn n keine k-te Potenz ist (nicht darstellbar also
> [mm]n=z^{k}[/mm] für eine natürliche Zahl z, dann ist [mm]{\sqrt[ {k}]{n}}[/mm]
> irrational.

>

> Beweis: Anstelle der einfachen
> gerade-ungerade-Argumentation verwendet man hier allgemein
> die Existenz einer eindeutigen Primfaktorzerlegung für
> natürliche Zahlen. Der Beweis erfolgt wieder indirekt:
> Angenommen, es gelte [mm]{\sqrt[ {k}]{n}}={\tfrac ab}[/mm] mit
> natürlichen Zahlen a,b. Es ist zu zeigen, dass dann n eine
> k-te Potenz ist, d. h., dass [mm]{\tfrac ab}[/mm] sogar eine
> natürliche Zahl ist. Zunächst folgt durch einfache
> Umformung, dass [mm]n\cdot b^{k}=a^{k}[/mm] gilt. Sei p eine
> beliebige Primzahl. In der Primfaktorzerlegung vonn bzw. a
> bzw. b trete p genau mit der Vielfachheit [mm]e_n[/mm] bzw. [mm]e_{a}[/mm]
> bzw. [mm]e_{b}[/mm] auf.

>

> Dann folgt sofort [mm]e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a}[/mm]

>

> ( Hier habe ich das erste Problem; warum folgt hier sofort
> [color=red][mm]e_{n}+k\cdot e_{b}=k\cdot e_{a}[/mm] ? [/color])

>

Nun, per Definition steckt der Primfaktor Faktor p [mm] e_n-mal [/mm] in n, [mm] e_b-mal [/mm] in b und [mm] e_a-mal [/mm] in a. Da a und b in der umgeformen Gleichung zur k. Potenz erhoben sind, verfielfacht sich das Vorkommen dieses Faktors um das k-fache. Zusammenzählen der Vorkommen von p auf beiden Seiten ergibt die obige Gleichung. 

> , wegen [mm]e_{n}\geq[/mm] 0 auf jeden Fall also [mm]e_{b}\leq e_{a}.[/mm]
> Da dies für jede Primzahl p gilt, muss b in der Tat ein
> Teiler von a sein, also ist [mm]{\tfrac ab}[/mm] eine natürliche
> Zahl und n ist deren k-te Potenz.

>

> Einfache Folgerung aus dem Irrationalitätssatz:

>

> [mm]{\sqrt[{n}]{n}}[/mm]

>

> ist irrational für alle natürlichen Zahlen > 1 (weil n
> nicht n-te Potenz einer natürlichen Zahl > 1 sein kann).

>

> ( Hier folgt das nächste Verständnissproblem, ich
> [color=red]verstehe nicht warum n nicht n-te Potenz einer natürlichen [/color]
> Zahl > 1 sein kann ?)

>

Das ist offensichtlich klar. Wie sollte etwa 157 die 157. Potenz einer (kleineren) natürlichen Zahl sein?

Scherz beiseite: ich denke, ganz so einfach ist es nicht. Um das zu beweisen braucht man vermutlich die Eigenschaften der Funktion [mm] f(x)=x^x, [/mm] insbesondere die Tatsache, dass diese Funktion für [mm] x>e^{-1} [/mm] streng monoton seigt, und zwar schneller als jede Exponentialfunktion.

EDIT: nein, das geht natürlich viel einfacher. Siehe dazu den folgenden Beitrag von Gonozal_IX.


Gruß, Diophant

Bezug
                
Bezug
Irrationalität \wurzel{2}: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:01 Do 02.03.2017
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> Um das zu beweisen braucht man vermutlich die Eigenschaften
> der Funktion [mm]f(x)=x^x,[/mm] insbesondere die Tatsache, dass
> diese Funktion für [mm]x>e^{-1}[/mm] streng monoton seigt, und zwar
> schneller als jede Exponentialfunktion.

wie war das mit der Kanone und den Spatzen?

Zeige per vollständiger Induktion: [mm] $2^n [/mm] > n$ und damit folgt für jede natürliche Zahl $k>1$ dass [mm] $k^n \ge 2^n [/mm] > n$

Gruß,
Gono

Bezug
                        
Bezug
Irrationalität \wurzel{2}: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:05 Do 02.03.2017
Autor: Diophant

Hallo,

>

> > Um das zu beweisen braucht man vermutlich die Eigenschaften
> > der Funktion [mm]f(x)=x^x,[/mm] insbesondere die Tatsache, dass
> > diese Funktion für [mm]x>e^{-1}[/mm] streng monoton seigt, und zwar
> > schneller als jede Exponentialfunktion.

>

> wie war das mit der Kanone und den Spatzen?

>

> Zeige per vollständiger Induktion: [mm]2^n > n[/mm] und damit folgt
> für jede natürliche Zahl [mm]k>1[/mm] dass [mm]k^n \ge 2^n > n[/mm]

>

Ja, da hast du Recht, danke für den Hinweis. Ich werde meine Antwort noch dementsprechend abändern (ich bin halt nicht so der diskrete Typ und greife daher gerne mal zur Kanone. ;-) ).

Gruß, Diophant

Bezug
                                
Bezug
Irrationalität \wurzel{2}: Danke
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:05 Fr 03.03.2017
Autor: Windbeutel

Vielen Dank für Eure Hilfe,

besonders bei dem ersten Problem hatte ich echt Tomaten auf den Augen.

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