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Hallo.
Um meine Mathekenntnisse zu verbessern habe ich mir Analysis 1 von Amann Escher ausgeliehen.
Ein Mengensystem wird hier folgendermaßen definiert:
Es sei [mm] \mathbf{A} [/mm] eine nichtleere Menge und für jedes [mm] \alpha \in \mathbf{A} [/mm] sei [mm] A_{\alpha} [/mm] eine Menge.
Dann heißt [mm] (A_{\alpha}; \alpha \in \mathbf{A}) [/mm] Familie von Mengen (oder Mengensystem), und A ist eine Indexmenge für diese Familie.
1.Frage:
Man wählt aus einer Indexmenge bspw. [mm] \mathebf{A}:={1,2,3} [/mm] ein Element und definiert hierfür eine neue Menge [mm] A_{\alpha} [/mm] also [mm] A_{1},A_{2},A_{3}.
[/mm]
Man bezeichnet [mm] \{A_{1},A_{2},A_{3}\} [/mm] als Familie.
Besitzen die Elemente der Familie automatisch ein Element? [mm] A_{1}:={1}, A_{2}=2 [/mm] usw.?
Für den Durchschnitt wird nun folgende Voraussetzung und anschließende Definition gegeben:
Es sei X eine Menge und [mm] \mathcal{A} [/mm] := [mm] \{A_{\alpha} ; a \in \mathebf{A}\} [/mm] sei eine Familie von Teilmengen von X.
Durchschnitt:
[mm] \bigcap_{\alpha}A_{\alpha} [/mm] := [mm] \{x \in X ; \allquant \alpha \in \mathebf{A}: x \in A_{\alpha}\}
[/mm]
Die obige Definition verstehe ich wie folgt:
Der Durchschnitt ist definiert als Menge aller x aus X, sodass für alle [mm] \alpha [/mm] aus A gilt, dass jedes x in [mm] A_{\alpha} [/mm] enthalten ist.
Also jedes x der Menge des Durchschnitts ist in jedem [mm] A_{\alpha} [/mm] mit [mm] \alpha \in \mathebf{A} [/mm] enthalten.
Habe ich es so richtig aufgefasst?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:13 Do 04.10.2012 | | Autor: | luis52 |
Moin,
> Hallo.
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> Um meine Mathekenntnisse zu verbessern habe ich mir
> Analysis 1 von Amann Escher ausgeliehen.
> Ein Mengensystem wird hier folgendermaßen definiert:
>
> Es sei [mm]\mathbf{A}[/mm] eine nichtleere Menge und für jedes
> [mm]\alpha \in \mathbf{A}[/mm] sei [mm]A_{\alpha}[/mm] eine Menge.
> Dann heißt [mm](A_{\alpha}; \alpha \in \mathbf{A})[/mm] Familie
> von Mengen (oder Mengensystem), und A ist eine Indexmenge
> für diese Familie.
>
> 1.Frage:
> Man wählt aus einer Indexmenge bspw. [mm]\mathebf{A}:={1,2,3}[/mm]
> ein Element und definiert hierfür eine neue Menge
> [mm]A_{\alpha}[/mm] also [mm]A_{1},A_{2},A_{3}.[/mm]
> Man bezeichnet [mm]\{A_{1},A_{2},A_{3}\}[/mm] als Familie.
> Besitzen die Elemente der Familie automatisch ein Element?
> [mm]A_{1}:={1}, A_{2}=2[/mm] usw.?
Nicht nowendigerweise, es kann auch gelten [mm] $A_1=\emptyset$.
[/mm]
>
>
> Für den Durchschnitt wird nun folgende Voraussetzung und
> anschließende Definition gegeben:
> Es sei X eine Menge und [mm]\mathcal{A}[/mm] := [mm]\{A_{\alpha} ; a \in \mathebf{A}\}[/mm]
> sei eine Familie von Teilmengen von X.
>
> Durchschnitt:
>
>
> [mm]\bigcap_{\alpha}A_{\alpha}[/mm] := [mm]\{x \in X ; \allquant \alpha \in \mathebf{A}: x \in A_{\alpha}\}[/mm]
>
> Die obige Definition verstehe ich wie folgt:
> Der Durchschnitt ist definiert als Menge aller x aus X,
> sodass für alle [mm]\alpha[/mm] aus A gilt, dass jedes x in
> [mm]A_{\alpha}[/mm] enthalten ist.
Besser: Der Durchschnitt ist definiert als Menge aller [mm] $x\in [/mm] X$,
sodass für alle [mm]\alpha[/mm] aus [mm] \mathbf{A} [/mm] gilt, dass jedes $x_$ Element von [mm]A_{\alpha}[/mm] ist.
> Also jedes x der Menge des Durchschnitts ist in jedem
> [mm]A_{\alpha}[/mm] mit [mm]\alpha \in \mathebf{A}[/mm] enthalten.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:11 Do 04.10.2012 | | Autor: | Masseltof |
Danke vielmals :)
Schönen Abend noch.
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