www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Funktionalanalysis" - Sobolevraum Abschätzung
Sobolevraum Abschätzung < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Sobolevraum Abschätzung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:26 Mi 01.07.2015
Autor: Orchis

Aufgabe
Sei [mm] \Omaga [/mm] offene Punktmenge des [mm] \IR^n [/mm] und  f [mm] \in L^2(\Omega). [/mm] Zeige, dass [mm] \phi:H^{1,2} \to \IR [/mm] mit [mm] \phi(v) [/mm] = (v, [mm] f)_{H^{1,2}} [/mm] ein stetiges, lineares Funktional ist.

Hi zusammen,

das ist eine sehr kurze Sache, aber es fällt mir nichts zur Beschränktheit ein:

(1) Die Linearität ist klar, da das Skalarprod. bilinear ist.

(2) Stetigkeit zeige ich über Beschränktheit.
[mm] |\phi(v)| [/mm] = |(v, [mm] f)_{H^{1,2}}| [/mm]
[mm] \leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}} [/mm]  nach Cauchy-Schwarz
= [mm] (\|f\|_{L^2} [/mm] + [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}} [/mm]
[mm] \leq [/mm] (C + [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}. [/mm]

Wie komme ich auf sowas wie [mm] |\phi(v)| \leq \tilde{C}\|v\|_{H^{1,2}}, [/mm] das [mm] \|\nabla f\|_{L^2}) [/mm] stört da noch...

Viele Dank schonmal fürs Helfen und viele Grüße!


        
Bezug
Sobolevraum Abschätzung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:40 Do 02.07.2015
Autor: fred97


> Sei [mm]\Omaga[/mm] offene Punktmenge des [mm]\IR^n[/mm] und  f [mm]\in L^2(\Omega).[/mm]
> Zeige, dass [mm]\phi:H^{1,2} \to \IR[/mm] mit [mm]\phi(v)[/mm] = (v,
> [mm]f)_{H^{1,2}}[/mm] ein stetiges, lineares Funktional ist.
>  Hi zusammen,
>  
> das ist eine sehr kurze Sache, aber es fällt mir nichts
> zur Beschränktheit ein:
>  
> (1) Die Linearität ist klar, da das Skalarprod. bilinear
> ist.
>  
> (2) Stetigkeit zeige ich über Beschränktheit.
>  [mm]|\phi(v)|[/mm] = |(v, [mm]f)_{H^{1,2}}|[/mm]
> [mm]\leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}}[/mm]  nach
> Cauchy-Schwarz
>  = [mm](\|f\|_{L^2}[/mm] + [mm]\|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}[/mm]
>  [mm]\leq[/mm]
> (C + [mm]\|\nabla f\|_{L^2}) \|v\|_{H^{1,2}}.[/mm]
>  
> Wie komme ich auf sowas wie [mm]|\phi(v)| \leq \tilde{C}\|v\|_{H^{1,2}},[/mm]


Das hast Du doch !!!!


Oben hast Du geschrieben:

[mm] |\phi(v)| [/mm] = [mm] |(v,f)_{H^{1,2}}|\leq \|v\|_{H^{1,2}} \cdot \|f\|_{H^{1,2}} [/mm]



[mm] \tilde{C}:=\|f\|_{H^{1,2}} [/mm] leistet das Gewünschte !

FRED


> das [mm]\|\nabla f\|_{L^2})[/mm] stört da noch...
>  
> Viele Dank schonmal fürs Helfen und viele Grüße!
>  


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Funktionalanalysis"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]