www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Gauß-Algorithmus
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Gauß-Algorithmus

(Weitergeleitet von LGS)

Gauß-Algorithmus

Sind zwei oder mehr lineare Gleichungen mit zwei oder mehr Unbekannten (= Variablen) gegeben, die gleichzeitig zu lösen sind, spricht man von einem


Linearen Gleichungssystem

Man löst ein lineares Gleichungssystem mit n Variablen, indem man es zunächst mit Hilfe von Äquivalenzumformungen auf Dreiecksform bringt und dann schrittweise nach den Variablen auflöst.
Als Äquivalenzumformungen gelten dabei insbesondere:

  1. Gleichungen miteinander vertauschen,
  2. eine Gleichung mit einer Zahl $ c \ne 0 $ multiplizieren,
  3. eine Gleichung durch die Summe oder Differenz eines Vielfachen von ihr und einem Vielfachen einer anderen Gleichung ersetzen.
    Ziel dieser Umformungen ist es, bei jedem Schritt die Anzahl der Variablen von einer Zeile zur nächsten zu reduzieren.

Beispiel:

(1) 3x + 6y - 2z = -4
(2) 3x + 2y + z = 0
(3) 3x + 10y - 10z = -18
--

(1)                 3x + 6y - 2z = -4
(2a)=(2)-(1): -4y + 3z = 4
(3a)=(3)-(1):  4y - 8z = -14
--
(1)                 3x + 6y - 2z = -4
(2a)=(2)-(1): -4y + 3z = 4
(3b)=(3a)+(2a):  - 5z = -10
--
Nun enthält die Gleichung (3b) nur noch die Variable z, die man berechnen kann: z = 2.
Das Ergebnis setzt man in Gleichung (2a) ein und erhält: y = $ \bruch{1}{2} $.
Beide Ergebnisse setzt man in (1) ein, um x = -1 zu erhalten.
Lösung ist also das Tripel (x;y;z) = (-1;$ \bruch{1}{2} $; 2).

$ \begin{pmatrix}3 & 6 & -2 &|& -4\\ 3 & 2 &  1 &|&  0\\ 3 & 10 & -10 &|& -18 \end{pmatrix}
\rightarrow \begin{pmatrix}3 & 6 & -2 &|& -4\\  & -4 &  3 &|&  4\\ 3 & 10 & -10 &|& -18 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3 & 6 & -2 &|& -4\\  & -4 &  3 &|&  4\\  & 2 & -4 &|& -7 \end{pmatrix} \rightarrow \begin{pmatrix}3 & 6 & -2 &|& -4\\  & -4 &  3 &|&  4\\  &  & -5 &|& -10 \end{pmatrix} $

Man erkennt an der Matrix-Schreibweise sehr schön die Dreiecksform, in die das Gleichungssystem umgeformt wird.

Dieses Verfahren läßt sich weitgehend automatisieren, daher ist es auch mit einem Computerprogramm durchzuführen.


Bemerkung

Zum Lösen von linearen Gleichungssystemen mit mehr als 3 Variablen kann man als abkürzende Schreibweise und vereinfachende Rechnungen die Matrixschreibweise und ihren Kalkül benutzen.

Erstellt: Fr 22.10.2004 von informix
Letzte Änderung: Di 12.02.2008 um 16:30 von informix
Weitere Autoren: Marc, mathemaduenn
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext

^ Seitenanfang ^
www.mathebank.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]