1+1/k = n^n/n! und e > 2 < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:00 Do 23.10.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
| Aufgabe | Es ist zu Beweisen, dass:
[mm] \produkt_{k=1}^{n} (1+\bruch{1}{k})^k [/mm] = [mm] \bruch{n^n}{n!}
[/mm]
und
[mm] (1+\bruch{1}{n})^{n+1} [/mm] > 2 |
Bei beiden Beweisen habe ich den Induktionsanfang aber finde keinen gescheiten Ansatz für den I.-Schritt
Wonach muss ich da schauen? Was sollte ich beachten? Wie soll man verfahren?
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> Es ist zu Beweisen, dass:
> [mm]\produkt_{k=1}^{n} (1+\bruch{1}{k})^k[/mm] = [mm]\bruch{n^n}{n!}[/mm]
Diese Formel stimmt so gar nicht !
Sie müsste lauten:
[mm]\produkt_{k=1}^{n} (1+\bruch{1}{k})^k[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^n}{n!}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:47 Do 23.10.2008 | | Autor: | ZodiacXP |
Hm. Gut zu wissen ;) Danke.
Das hats aber leider nicht leichter gemacht.
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> Hm. Gut zu wissen ;) Danke.
> Das hats aber leider nicht leichter gemacht.
Das wird es aber definitiv !
Die Verankerung sollte kein Problem sein.
Dann der Induktionsschritt:
Falls die Formel für n gültig ist, also
[mm]\produkt_{k=1}^{n} \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k[/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^n}{n!}[/mm]
dann ist
[mm]\produkt_{k=1}^{n+1} \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k =\left(\produkt_{k=1}^{n} \left(1+\bruch{1}{k}\right)^k\right)*\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1)^n}{n!}*\left(1+\bruch{1}{n+1}\right)^{n+1}=\bruch{(n+1)^n}{n!}*\left(\bruch{n+2}{n+1}\right)^{n+1}
[/mm]
Wenn du diesen Term vereinfachst, kommst du
zum gewünschten Ziel.
LG
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