Feststellen Diffbarkeit < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:19 Fr 27.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
| Aufgabe | Für welche x [mm] \in \IR [/mm] ist die Funktion f: [mm] \IR \rightarrow \IR, [/mm] definiert durch
$f(x) = [mm] \begin{cases} xe^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}$
[/mm]
differenzierbar? |
Hallo Matheräumer,
Kann hier vielleicht grad jemand drüber schauen, ob die Aufgabe so richtig gelöst ist? Insb. beim rot-markierten bin ich mir nicht so ganz sicher, ob der Schritt vielleicht ein bisschen schnell ist.
1. Für x [mm] \not= [/mm] 0 ist f diffbar als Komposition diffbarer Funktionen ohne Polstelle.
2. Für x = 0 betrachte
[mm] \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \rightarrow 0}\frac{xe^{-\frac{1}{x^2}}}{x}
[/mm]
= [mm] \lim_{x \rightarrow 0} e^{-\frac{1}{x^2}}
[/mm]
= 0
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist überall differenzierbar.
[mm] \Box
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:24 Fr 27.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Für welche x [mm]\in \IR[/mm] ist die Funktion f: [mm]\IR \rightarrow \IR,[/mm]
> definiert durch
> [mm]f(x) = \begin{cases} xe^{-\frac{1}{x^2}}, & \mbox{für } x \not= 0 \\ 0, & \mbox{für } x = 0 \end{cases}[/mm]
>
> differenzierbar?
> Hallo Matheräumer,
> Kann hier vielleicht grad jemand drüber schauen, ob die
> Aufgabe so richtig gelöst ist? Insb. beim rot-markierten
> bin ich mir nicht so ganz sicher, ob der Schritt vielleicht
> ein bisschen schnell ist.
> 1. Für x [mm]\not=[/mm] 0 ist f diffbar als Komposition diffbarer
> Funktionen ohne Polstelle.
> 2. Für x = 0 betrachte
> [mm]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}[/mm]
>
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f(x)}{x}[/mm]
>
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0}\frac{xe^{-\frac{1}{x^2}}}{x}[/mm]
>
> = [mm]\lim_{x \rightarrow 0} e^{-\frac{1}{x^2}}[/mm]
>
> = 0
Hier würde ich (sicherheitshalber) noch anfügen:
[mm] $\limes_{t\rightarrow\infty}e^{-t}= [/mm] 0$
Ansonsten hast Du alles richtig gemacht.
FRED
>
> [mm]\Rightarrow[/mm] f ist überall differenzierbar.
>
> [mm]\Box[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:29 Fr 27.03.2009 | | Autor: | JulianTa |
Dankeschön!
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