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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:00 Mo 11.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
| Aufgabe | Die Fibonacci-Zahlen 0,1,1,2,3,5,8,... sind durch die Rekursionsformel [mm] f_n [/mm] = [mm] f_{n-1} [/mm] + [mm] f_{n-2} [/mm] und die Startwerte [mm] f_0 [/mm] = 0 und [mm] f_1 [/mm] = 1 definiert. Die Rekursionsformel kann man auch in Matrixform darstellen:
[mm] \pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 } [/mm] * [mm] \vektor{f_{n-2} \\ f_{n-1} } [/mm] = [mm] \vektor{f_{n-1} \\ f_{n} }
[/mm]
Nehmen wir an, die Folge [mm] a_n [/mm] sei durch die Rekursionsformel [mm] \bruch{1}{2}(a_{n-1} [/mm] + [mm] a_{n-2}) [/mm] definiert. Man berechne lim [mm] a_n [/mm] aus den Startwerten [mm] a_0 [/mm] und [mm] a_1
[/mm]
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Wie kann ich hier am besten anfangen?
Muss ich den Limes mit Hilfe der angegebenen Matrizen lösen?
Blicke gerade nicht so durch...
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Hallo!
> Die Fibonacci-Zahlen 0,1,1,2,3,5,8,... sind durch die
> Rekursionsformel [mm]f_n[/mm] = [mm]f_{n-1}[/mm] + [mm]f_{n-2}[/mm] und die Startwerte
> [mm]f_0[/mm] = 0 und [mm]f_1[/mm] = 1 definiert. Die Rekursionsformel kann
> man auch in Matrixform darstellen:
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> [mm]\pmat{ 0 & 1 \\ 1 & 1 }[/mm] * [mm]\vektor{f_{n-2} \\ f_{n-1} }[/mm] =
> [mm]\vektor{f_{n-1} \\ f_{n} }[/mm]
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> Nehmen wir an, die Folge [mm]a_n[/mm] sei durch die Rekursionsformel
> [mm]\bruch{1}{2}(a_{n-1}[/mm] + [mm]a_{n-2})[/mm] definiert. Man berechne lim
> [mm]a_n[/mm] aus den Startwerten [mm]a_0[/mm] und [mm]a_1[/mm]
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> Wie kann ich hier am besten anfangen?
> Muss ich den Limes mit Hilfe der angegebenen Matrizen
> lösen?
> Blicke gerade nicht so durch...
Du Vermutung läuft ja darauf hinaus, dass die Folge gegen Unendlich konvergiert für n gegen Unendlich. Dafür braucht man nicht zu rechnen. Wenn man jetzt aber den konkreten Wert von [mm] a_{n} [/mm] bestimmen will für ein beliebiges n, so geht man folgendermaßen vor:
1. Bestimmte wie oben eine Matrix A, welche dann die Gleichung erfüllt:
[mm]A*\vektor{f_{n-2} \\ f_{n-1} } = \vektor{f_{n-1} \\ f_{n} }[/mm]
2. In gewisser Weise hast du nun eine lineare Abbildung [mm]g:x\mapsto Ax[/mm] definiert, wenn du
[mm]\vektor{f_{0} \\ f_{1} } := x_{1}[/mm]
[mm]\vektor{f_{n-2} \\ f_{n-1} } := x_{n-1}[/mm]
und
[mm]\vektor{f_{n-1} \\ f_{n} } := x_{n}[/mm]
festlegst. Es gilt dann
[mm]x_{n} = g(x_{n-1}) = g^{2}(x_{n-2}) = ... = g^{n-1}(x_{1})[/mm],
was gleichbedeutend ist mit:
[mm]x_{n} = A*x_{n-1} = A^{2}*x_{n-2} = ... = A^{n-1}*x_{1}[/mm].
Wie kannst du nun am besten [mm] x_{n} [/mm] = [mm] A^{n-1} [/mm] für beliebiges n berechnen??? Dafür hast du sicher eine Möglichkeit kennen gelernt! (Fängt mit D an!)
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:41 Mo 11.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
Hallo steppenhahn,
Vielen Dank für deine Hilfe.
> Wie kannst du nun am besten [mm]x_{n}[/mm] = [mm]A^{n-1}[/mm] für beliebiges
> n berechnen??? Dafür hast du sicher eine Möglichkeit kennen
> gelernt! (Fängt mit D an!)
>
Mir ist nun einfach nur noch nicht ganz klar, wie ich dieses [mm] A^{n-1} [/mm] berechnen kann. Dies haben wir - meines Wissens nach - nie in der Vorlesung behandelt. Mit "D" kommt mir nur Determinante oder diagonalisieren in den Sinn...?
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> Hallo steppenhahn,
> Vielen Dank für deine Hilfe.
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> > Wie kannst du nun am besten [mm]x_{n}[/mm] = [mm]A^{n-1}[/mm] für beliebiges
> > n berechnen??? Dafür hast du sicher eine Möglichkeit kennen
> > gelernt! (Fängt mit D an!)
> >
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> Mir ist nun einfach nur noch nicht ganz klar, wie ich
> dieses [mm]A^{n-1}[/mm] berechnen kann. Dies haben wir - meines
> Wissens nach - nie in der Vorlesung behandelt. Mit "D"
> kommt mir nur Determinante oder diagonalisieren in den
> Sinn...?
Diagonalisieren hat er gemeint, denn die $n$-te Potenz einer Diagonalmatrix $D$ ist sehr einfach zu berechnen: die Diagonalelemente von [mm] $D^n$ [/mm] sind einfach die $n$-ten Potenzen der Diagonalelemente von $D$. Ist etwa $A := [mm] T\circ D\circ T^{-1}$, [/mm] dann ist [mm] $A^n=\left(T\circ D\circ T^{-1}\right)^n=T\circ D^n\circ T^{-1}$. [/mm] Sobald Du also $D$ und $T$ kennst, ist [mm] $A^n$ [/mm] relativ leicht zu berechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:07 Mo 11.08.2008 | | Autor: | johnny11 |
Super, jetzt ists klar. Vielen Dank. 
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