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Hallo ihr, die Aufgabe lautuet,
[mm] \wurzel{j^2+8*j+1}-j
[/mm]
durch ausprobieren , habe ich jetzt herausgefunden, dass der grenzwert 4 ist.
ich habe überlegt, ob ich das evtl so zeigen kann: [mm] \wurzel{(j+4)^2-15}-\wurzel{j^2}
[/mm]
naja und dann hab ich mir gedacht, dass für große j , um die es ja geht, folgendes der Fall ist.
nämlich , dass die -15 unter der wurzel für große j irrelevant wird und somit : [mm] \wurzel{(j+4)^2}-\wurzel{j^2} [/mm] = j+4 -j = 4
aber das ist ja kein beweis oder?
oder kann ich dann vlt. jetzt zeigen , dass es zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] >0, ein N in [mm] \IN [/mm] existiert, sodass : aj-4 [mm] <\varepsilon [/mm] ???
Um eine antwort wäre ich sehr dankbar.
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Hallo
Ich würde das so probiern
[mm] a_{j}= \wurzel{j^{2}+8j+1}-j [/mm] man multipliziert mit [mm] \bruch{\wurzel{j^{2}+8j+1}+j}{\wurzel{j^{2}+8j+1}+j}
[/mm]
dann bekommst du [mm] \bruch{8j+1}{\wurzel{j^{2}+8j+1}+j}
[/mm]
jetzt berechnet man [mm] \limes_{j\rightarrow\infty}a_{j}
[/mm]
[mm] \bruch{8j/j+1/j}{\wurzel{j^{2}/j^{2}+8j/j^{2}+1/j^{2}}+j/j}=4
[/mm]
lg Stevo
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> jetzt berechnet man [mm]\limes_{j\rightarrow\infty}a_{j}[/mm]
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> [mm]\bruch{8j/j+1/j}{wurzel{j^{2}/j^{2}+8j/j^{2}+1/j^{2}}+j/j}=4[/mm]
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> lg Stevo
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Deinen letzten schritt habe ich nicht ganz verstanden, er war aber auch nicht richtig lesbar...ich kann doch nicht, wenn ich den gesammten bruch du j teile, unten unter der wurzel durch j ^2 teilen oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:19 Mi 16.11.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo pusteblume!
Den Schritt mit dem Erweitern zur 3. binomischen Formel hast Du verstanden?
Nun klammere mal aus dem Wurzelargument im Nenner [mm] $j^2$ [/mm] aus. Damit kannst Du dann im gesamten Nenner [mm] $\wurzel{j^2} [/mm] \ = \ j$ ausklammern.
Ebenfalls $j_$ im Zähler ausklammern und dann kürzen. Nun kannst Du die entsprechende Grenzwertbetrachtung machen.
Gruß
Loddar
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