Gaußsche Zahlenebene < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:10 Mi 19.07.2006 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Frage: Wo liegen in der Gaußschen Zahlenebene alle komplexen Zahlen z mit ...
a) [mm] z^2=|z|^2
[/mm]
b) [mm] |\bruch{z-i}{z+i}|=1
[/mm]
c) [mm] |\bruch{z-3}{z+3}| [/mm] = 2 |
Hi Leute,
habe bei dem seltsamen Gebiet der komplexen Zahlen ziemlich große Probleme, das Wort komplex passt hier wohl wie die Faust aufs Auge. Ich weiß nur das man z durch a+ib ersetzen kann aber wie es das weiter geht weiß ich leider nicht. Hat jemand von euch eine Idee ?
Mfg fisch
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Gruß!
Naja, aber mit dem Einsetzen von $z = a+ ib$ kommt man doch schon sehr weit!
Zum Beispiel bei der ersten Aufgabe: für welche $z [mm] \in \IC$ [/mm] gilt [mm] $z^2 [/mm] = [mm] |z|^2$?
[/mm]
Antwort: Für $z = a + ib$ ist $|z| = [mm] \sqrt{a^2 + b^2}$. [/mm] Es folgt:
[mm] $z^2 [/mm] = [mm] |z|^2 \Leftrightarrow (a+ib)^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2 \Leftrightarrow a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] + (2ab)i = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$
[/mm]
Jetzt hast Du eine Gleichung von komplexen Zahlen - diese sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und ihr Imaginärteil gleich sind, also erhältst Du das Gleichungssystem:
[mm] $a^2 [/mm] - [mm] b^2 [/mm] = [mm] a^2 [/mm] + [mm] b^2$ [/mm] und $2ab = 0$
Die erste Gleichung ist genau dann erfüllt, wenn [mm] $2b^2 [/mm] = 0$, also wenn $b = 0$. Dann aber ist die zweite Gleichung auch erfüllt.
Es folgt: die Gleichung [mm] $z^2 [/mm] = [mm] |z|^2$ [/mm] gilt für alle komplexen Zahlen mit Imaginärteil 0, also für alle komplexen Zahlen, die in Wahrheit reell sind.
Mit den anderen Gleichungen verfährst Du ebenso... einsetzen, durchrechnen und nach $a$ und $b$ auflösen.
Viel Erfolg!
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:56 Mi 19.07.2006 | | Autor: | fisch000 |
Danke werde mir deine Antwort morgen in Ruhe anschauen, hoffe das ich daraus schlauer werde. Schönen Abend noch.
Mfg fisch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:25 Do 20.07.2006 | | Autor: | fisch000 |
Hallo,
hab deine Erklärung prima verstanden aber wie siehts denn z.b. bei der c) aus, diese Bruch verwirrt micht etwas, wa smuss ich machen nachdem ich im z mit a+ib erstzt habe ?
Mfg fisch
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Fr 21.07.2006 | | Autor: | Dr.Bilo |
Bei Brüchen musst du erst den Nenner konjugiert komplex erweitern.
aus $ [mm] |\bruch{z-3}{z+3}| [/mm] $
wird
$ [mm] |\bruch{a+ib-3}{a+ib+3}| [/mm] $
$ [mm] |\bruch{a-3+ib}{a+3+ib}| [/mm] $
jetzt den Bruch konjugiert komplex erweitern
$ [mm] |\bruch{(a-3+ib) (a+3-ib) }{(a+3+ib) (a+3-ib)}| [/mm] $
Ausrechnen => Nenner ist nicht mehr komplex sondern reell.
Nach dem Ausrechnen sortieren und wie oben beschrieben fortfahren.
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