Geradensteigungen bestimmen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Welche Steigungskoeffizienten können die Geraden durch die Punkte (x,arctan(x)) und (y,arctan(y)) haben? |
Hallo,
habe mir zu der Aufgabe überlegt, dass alle Geraden die Steigung
[mm] \bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y} [/mm]
haben müssten. Bin ich damit schon fertig? Oder muss ich noch irgendwas beachten?
Gruß, Gratwanderer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:48 Mi 20.01.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Gratwanderer!
Das sieht schonmal ganz gut aus ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") .
Ich kann mir aber sehr gut vorstellen, dass hier nach den Werten dieses Bruchtermes gefragt ist: welche Werte (Grenzwertbetrachtung!) kann dieser Bruchterm annehmen?
Gruß
Loddar
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Ok, anhand des Graphen würde ich mal schätzen, dass sich die Steigung zwischen 0 und 1 befindet.
Der arctan "wirft" doch alle reellen Zahlen in das Intervall (-1,1)?! D. h. der Zähler bewegt sich zwischen (-2,2)? Der Nenner bewegt sich zwischen [mm] (-\infty,\infty). [/mm]
Welche Grenzwerte müsste ich denn berechnen?
Hätte noch folgende Idee:
[mm] \bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y}=(arctan(\xi))'=\bruch{1}{1+\xi^2}
[/mm]
und [mm] \limes_{\xi\rightarrow\pm\infty}\bruch{1}{1+\xi^2}=0
[/mm]
und [mm] \limes_{\xi\rightarrow 0}\bruch{1}{1+\xi^2}=1
[/mm]
Kann man das so zeigen?
Gruß, Gratwanderer
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 06:44 Do 21.01.2010 | | Autor: | fred97 |
> Ok, anhand des Graphen würde ich mal schätzen, dass sich
> die Steigung zwischen 0 und 1 befindet.
>
> Der arctan "wirft" doch alle reellen Zahlen in das
> Intervall (-1,1)?! D. h. der Zähler bewegt sich zwischen
> (-2,2)? Der Nenner bewegt sich zwischen [mm](-\infty,\infty).[/mm]
>
> Welche Grenzwerte müsste ich denn berechnen?
>
> Hätte noch folgende Idee:
>
> [mm]\bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y}=(arctan(\xi))'=\bruch{1}{1+\xi^2}[/mm]
>
> und [mm]\limes_{\xi\rightarrow\pm\infty}\bruch{1}{1+\xi^2}=0[/mm]
>
> und [mm]\limes_{\xi\rightarrow 0}\bruch{1}{1+\xi^2}=1[/mm]
>
> Kann man das so zeigen?
Ja, mit Deiner obigen Idee (MWS) kann man zeigen, dass die Funktion
$f(x,y)= [mm] \bruch{arctan(x)-arctan(y)}{x-y}$ [/mm] ($x [mm] \not=y$)
[/mm]
den Wertebreich [0,1] hat.
FRED
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> Gruß, Gratwanderer
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