Induktion über Zahlpartitionen < Kombinatorik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:08 So 15.05.2011 | | Autor: | dlns |
Hallo Forum,
ich soll zeigen, dass für die Bell-Zahlen [mm]B(n) = \sum_{\substack{a_1+\ldots+a_k=n, \\ a_i \geq 1}} \frac{1}{k!} {n \choose a_1,\ldots,a_k}[/mm] gilt. Ich hab das mal induktiv über [mm]n[/mm] versucht.
Der Induktionsanfang ist für die Zahlpartitionen von [mm]n=1[/mm] klar.
Im Induktionsschritt habe ich bis jetzt die Schritte
[mm]
B(n+1) = \sum_{k=0}^n {n \choose k} B(k) \stackrel{\text{I.V.}}{=} \sum_{k=0}^n {n \choose k} \sum_{\substack{a_1+\ldots+a_r=k, \\ a_i \geq 1}} \frac{1}{r!} {n \choose a_1,\ldots,a_r} = \ldots = \sum_{\substack{a_1+\ldots+a_k=n+1, \\ a_i \geq 1}} \frac{1}{k!} \frac{n!}{a_1!\cdot\ldots\cdot a_k!} \cdot (n+1) = \sum_{\substack{a_1+\ldots+a_k=n+1, \\ a_i \geq 1}} \frac{1}{k!} {n+1 \choose a_1,\ldots,a_k}.
[/mm]
Dazwischen fehlt mir aber noch der mittlere Teil. Intuitiv ist die Summation von [mm]k=0[/mm] bis [mm]n[/mm] ja ähnlich wie der angehängte Faktor [mm]n+1[/mm] im rechten Teil. Aber wie geh ich damit um, dass sich die Menge der Zahlpartitionen bei der Summation verändert?
Viele Grüße und vielen Dank im Voraus,
D.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:21 Di 17.05.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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