Injektiv/Surjektiv Dimensionen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:34 So 02.02.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | Es seien V, W Vektorräume und f: V --> W eine lineare Abbildung. Zeigen Sie:
a) Ist f injektiv, so gilt dim(V ) [mm] \le [/mm] dim (W).
b) Ist f surjektiv, so gilt dim(V) [mm] \ge [/mm] dim(W) |
a) Dimensionssatz dim(V) = dim ker(f) +dim im(f)
Da f injektiv ist ker(f) = (0) und damit dim ker(f)=0. im(f) [mm] \subseteq [/mm] W und damit dim im(f) [mm] \le [/mm] dim (W) also dim(V) = 0+dim im(f) [mm] \le [/mm] dim(W)
b) Wenn f surjektiv ist, ist im(f) = W und deshalb dim im(f) = dim(W) also
dim(V) = dim ker(f) + dim (W) also dim (V) - dim ker(f) = dim(W) und da eine Dimension immer [mm] \ge [/mm] 0 ist muss gelten dim(V) [mm] \ge [/mm] dim(W)
Reicht das? Kommt mir so kurz vor. Danke schonmal.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:38 So 02.02.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
das ist alles perfekt.
Eine gute Argumentation zeichnet sich dadurch aus, dass sie kurz ist.
Gruß Sax.
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