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Forum "Lineare Algebra - Matrizen" - Matrix berechnen
Matrix berechnen < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Matrix berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 23:46 Mo 25.06.2007
Autor: clarakami

Hallo,

ich habe mal wieder eine Frage, bei der ich nicht weiterkomme: Wie kann ich [mm] A^n [/mm] von der Matrix A =  [mm] \pmat{ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 3 } [/mm]
berechnen??

Ich habe angefanken mit A*A, A*A*A usw., das bringt mich aber nicht weiter. Ich kann kein allgemeines Muster erkennen...  ???

Danke schon mal im Voraus!!

        
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Matrix berechnen: Rückfrage
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:57 Mo 25.06.2007
Autor: barsch

Hi,

ist das n angegeben?

Meines Wissens gibt es da kein allgemeines Muster.

MfG

barsch

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Matrix berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:03 Di 26.06.2007
Autor: clarakami

Hallo,

das n war nicht vorgegeben, aber nach der Natwort von DaMenge ist ja alles klar!! Dankeschön trotzdem!!



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Matrix berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 00:28 Di 26.06.2007
Autor: DaMenge

Hi,

angenommen du findest ein Basis B aus Eigenvektoren, so dass die darstellende Matrix bzgl B eine Diagonalmatrix D ist.

sei X die Transformationsmatrix (=Basiswechselmatrix) von der Basis B zu der Basis, bzgl der die Matrix A dargestellt ist, also ist dann : [mm] $A=X^{-1}*D*X$ [/mm]

dann ist :  [mm] $A^2=X^{-1}*D*X*X^{-1}*D*X=X^{-1}*D^2*X$ [/mm]

und allgemein : [mm] $A^n=X^{-1}*D^n*X$ [/mm]

so, alles was zu tun ist : die Basis aus Eigenvektoren bestimmen und [mm] $D^n$ [/mm] berechnen ...

viel Spaß + viele Grüße
DaMenge

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Matrix berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:02 Di 26.06.2007
Autor: clarakami

Besten Dank,  das hat mir sehr weitergeholfen!!



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Matrix berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 08:25 Mi 27.06.2007
Autor: clarakami

Hi,

ich hätte da jetzt doch noch eine Frage: Die gegebene Matrix A hat die Eigenwerte 2, 2, 2. Dementsprechend lässt sich leider keine Basis aus Eigenvektoren finden, man erhält immer nur 2 linear unabhängige Basisvektoren.

Was kann ich jetzt machen?

Dankeschön!!

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Matrix berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:38 Mi 27.06.2007
Autor: Zaed

Hallo,

in diesem Fall kannst du deine Matrix in Jordan-Normalform bringen! Dann gehst du analog wie bei deiner Diagonalmarix vor, du kannst spielend leicht folgendes rechnen: (wie man die Jordan-Normalform bestimmt weist du?)

Sei B die Basis, in der A Jordan-Normalform (C) hat:

[mm] A^n = B^{-1} * C^n *B [/mm]

Nun musst du also nurnoch [mm] C^n [/mm] ausrechnen. Das sollte dir allerdings gelingen, da kann man dann wunderbar ein Muster erkennen :D

mfG Zaed

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Matrix berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:55 Mi 27.06.2007
Autor: DaMenge

Hi,

also ich hab als Eigenwerte : 2 , 4 , 4  und auch wirklich 3 lin.unabhaengige Eigenvektoren
(habs aber im Kopf berechnet - mit ein wenig Uebung geht das aber)

also die Matrix ist wirklich diagonalisierbar...

viele Gruesse
DaMenge


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Matrix berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:51 Mi 27.06.2007
Autor: Zaed

da hast du dich vlt im Kopf verrechnet :D

es kommt wirklich nur ein Eigenwert 2 mit algebraischer Vielfachheit 3 raus. Dabei gilt leider, dass die geometrische Vielfachheit nicht 3 ist. Damit ist diese Matrix nicht diagonalisierbar....

Als charakteristisches Polynom habe ich [mm] -(t-2)^3 [/mm] und als Minimalpolynom [mm] (t-2)^2 [/mm], was auch wieder belegen würde, dass die Matrix nicht diagonalisierbar ist... Allerdings lässt sich an dem Minimalpolynom jetzt wunderbar die Jordan-Normalform ablesen :D

mfG Zaed

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Matrix berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:59 Mi 27.06.2007
Autor: DaMenge

argh - ihr habt recht^^

das eine mal hab ich zu spaet abends und das andere mal zu frueh morgens gerechnet....

man moege meine antwort hier oben ignorieren !!

vielen Dank !
DaMenge

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Matrix berechnen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:26 Mi 27.06.2007
Autor: clarakami

Hi,

ist ja alles halb so wild!! Aber wenn bei deiner Lösung B die Matrix aus den Eigenvektoren ist - (nur für den Fall dass wir mal eine diagonalisierbare Matrix A haben) - wo kriege ich die Matrix X her???

LG
clarakami

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Matrix berechnen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:12 Mi 27.06.2007
Autor: DaMenge

Hi,

okok - diesen hypothetischen Fall koennen wir dann natuerlich auch noch schnell besprechen^^

Also wenn die Matrix A bzgl einer kanonischen Basis K gegeben sei, dann ist oben X die MBTransformationsmatrix (<- click mich), die einen Vektor der bzgl B gegeben ist, gleich laesst aber bzgl K darstellt - also [mm] $X=T^B_K$ [/mm] um mal die Schreibweise des Artikels zu benutzen.

X erhaelt man aber ganz leicht, wenn man die (hypothetischen) linear unabhaengigen Eigenvektoren (die man ja bzgl K berechnet) als SPALTEN in eine Matrix schreibt...

die Inverse laesst sich dann auch noch einfach berechnen..

viele Gruesse
DaMenge

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Matrix berechnen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:41 Mi 27.06.2007
Autor: clarakami

Tausend Dank, jetzt ist alles einleuchtend!! ;-)))))

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