Orthogonale Eigenvektoren < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:50 Di 25.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo,
wie zeige ich, ob 2 Eigenvektoren orthogonal sind? Laut Bronstein [mm] x_{i}^{T}*x_{j}=0
[/mm]
D.h. die Transponierte des einen Vektors multipliziert mit dem anderen Vektor muss 0 ergeben.
Ich habe hier 2 Eigenvektoren einer Matrix (sind definitiv korrekt), aber komme nicht 0.
a= [mm] \vektor{3*i \\ 1+i \\ 1} [/mm] , b= [mm] \vektor{0 \\ -1-i \\ 2}
[/mm]
[mm] a^{T}= \vektor{3*i, 1+i, 1}*\vektor{0 \\ -1-i \\ 2}
[/mm]
=> [mm] \vektor{3*i, 1+i, 1}*\vektor{0 \\ -1-i \\ 2}=3*i*0+(1+i)*(-1-i)+1*2=(1+i)*(-1-i)+2=-1-2*i-i^{2}+2=1-2*i-(-1)=2-2*i
[/mm]
Seh ich den Wald vor lauter Bäumen nicht?
Gruß,
algebra1
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Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 25.07.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ich erhalte auch dein Ergebnis: 2-2i ; dann dürften wohl deine Vektoren nicht stimmen.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:04 Di 25.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo Herby,
sind mit Mathematica nachgerechnet, stimmen also.
Eigentlich sind es ja 3 Vektoren und man soll zeigen, dass die orthogonal sind. Kann man das auch zwischen 3 zeigen? Vielleicht liegt hier der Fehler und ich muss alle 3 zusammen nehmen und nicht je 2.
[mm] a=\vektor{3\cdot{}i \\ 1+i \\ 1} [/mm] , [mm] b=\vektor{0 \\ -1-i \\ 2} [/mm] , [mm] c=\vektor{-i \\ 1+i \\ 1}
[/mm]
Gruß,
algebra1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Di 25.07.2006 | | Autor: | Herby |
Hallo,
ein Orthogonalsystem ist wie folgt aufgebaut:
Eine Menge von Vektoren nennt man orthogonal oder Orthogonalsystem, wenn alle darin enthaltenen Vektoren paarweise orthogonal zueinander sind.
Und das weist du mit dem Skalarprodukt nach.
Liebe Grüße
Herby
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Di 25.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hallo Herby,
reicht es zu zeigen, dass die Vektoren linear unabhängig sind? Über das Skalarprodukt komme ich auch auf keinen grünen Zweig.
Gruß,
algebra1
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:33 Di 25.07.2006 | | Autor: | Herby |
Moin,
da weiß ich jetzt nicht, was du damit zeigen willst. Für die Orthogonalität bringt das nix. Linear unabhängig heißt, dass sich der Nullvektor nur trivial als Linearkombination darstellen lässt, wenn alle [mm] \lambda_n=0 [/mm] sind.
o.k.??
Liebe Grüße
Herby
ich hab deine Vektoren übrigens grad mal als Vektorprodukt verwurstelt, sind nicht orthogonal (meiner Meinung nach - man wird ja vorsichtig ![[grins]](/images/smileys/grins.gif "[grins]") )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:13 Di 25.07.2006 | | Autor: | andreas |
hi
ich wollte kurz bemerken, dass das standard skalarprodukt des komplexen koordinatenvektorraums [mm] $\mathbb{C}^n$ [/mm] etwas anderes definiert ist, man muss nämlich die einträge eines der beiden vektoren komplex konjugieren siehe etwa ![[]](/images/popup.gif) bei wikipedia. dann sollten die vektoren - sofern ich mich nicht verrechnet habe - auch orthogonal sein.
grüße
andreas
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:26 Di 25.07.2006 | | Autor: | algebra1 |
Hi andreas,
darauf hätte ich auch selbst kommen können. Transponiert im komplexen Bereich heißt ja auch komplex konjugiert, also stimmt die Formel [mm] x_{i}^{T}\cdot{}x_{j}=0 [/mm] im Bronstein.
Besten Dank.
Gruß,
algebra1
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