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Forum "Schul-Analysis" - Ortslinie

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Ortslinie: Frage (beantwortet)

Status:	(Frage) beantwortet
Datum:	21:01 Mi 06.10.2004
Autor:	Marie

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

also.. es geht um Ortslinien und zwar heißt die Ausgangsfunktion:

[mm] f_{k} [/mm] (x) = [mm] x^4 [/mm] + kx³

Die Aufgabe heißt:
Die Extrempunkte aller Kurven liegen auf einem Graphen (man soll also die Ortslinie berechnen).
Der Extrempunkt ist x = - 3/4 k

in der Schule haben wir es dann so ausgerechnet, dass wir die Extremstelle andstelle von x in die Funktionsgleichung eingesetzt haben und dies ist dabei herausgekommen:

1. y = 81/256 [mm] k^4 [/mm] - 27/64 [mm] k^4 [/mm]
2.       = -1/3 [mm] \times (-3/4k)^4 [/mm]
3.       = [mm] -1/3x^4 [/mm]   <-- das also die Ortslinie ist. Den Rechenweg verstehe ich aber nicht ganz denn ich weiß nicht wie man von schritt 2 zu schritt 3 kommt!!
Könnte mir das jemand erklären und vielleicht auch allgemein sagen wie man Ortsstellen ausrechnet? das wäre echt eine große hilfe..

Bezug

Ortslinie: Antwort

Status:	(Antwort) fertig
Datum:	21:32 Mi 06.10.2004
Autor:	Marc

Hallo Marie,

> Die Extrempunkte aller Kurven liegen auf einem Graphen (man
> soll also die Ortslinie berechnen).
>  Der Extrempunkt ist x = - 3/4 k
>
> in der Schule haben wir es dann so ausgerechnet, dass wir
> die Extremstelle andstelle von x in die Funktionsgleichung
> eingesetzt haben und dies ist dabei herausgekommen:
>
> 1. y = 81/256 [mm]k^4[/mm] - 27/64 [mm]k^4[/mm]
> 2.       = -1/3 [mm]\times (-3/4k)^4[/mm]
> 3.       = [mm]-1/3x^4[/mm]   <-- das also die Ortslinie ist. Den
> Rechenweg verstehe ich aber nicht ganz denn ich weiß nicht
> wie man von schritt 2 zu schritt 3 kommt!!
> Könnte mir das jemand erklären und vielleicht auch
> allgemein sagen wie man Ortsstellen ausrechnet? das wäre
> echt eine große hilfe..

Das ist eigentlich ganz einfach :-)

Zunächst bestimmst du wie gehabt die Extrempunkte (falls es eine Ortslinie der Extrempunkte werden soll).

Wie in deinem Beispiel sind die Koordinaten der Extrempunkte parameterabhängig, weil ja jede Funktion der Schar an einer anderen Stelle einen Extrempunkt haben kann:

[mm] $E_k\left( -\bruch{3}{4} k\ |\ -\bruch{1}{3}*\left(-\bruch{3}{4}k\right)^4 \right)$ [/mm]

Die Koordinaten der Punkte der zu berechnenden Ortslinie P(x|y) müssen also folgenden Gleichungen genügen:

$x = [mm] -\bruch{3}{4} [/mm] k$
$y = [mm] -\bruch{1}{3}*\left(-\bruch{3}{4}k\right)^4$ [/mm]

Um die Ortslinie als Funktion darstellen zu können, benötigen wir die alleinige Abhängigkeit des y von x; diese ist sehr oft dadurch herstellbar, dass man die erste Gleichung nach dem Parameter auflöst und diesen Ausdruck dann in die zweite Gleichung einsetzt:

[mm] $\blue{k} [/mm] = [mm] \blue{-\bruch{4}{3} x}$ [/mm]
$y = [mm] -\bruch{1}{3}*\left(-\bruch{3}{4}\blue{k}\right)^4$ [/mm]

Einsetzen der ersten Gleichung in die zweite:

$k = [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] x$
$y = [mm] -\bruch{1}{3}*\left(-\bruch{3}{4}\blue{\left(-\bruch{4}{3} x\right)}\right)^4$ [/mm]

Kürzen:

$k = [mm] -\bruch{4}{3} [/mm] x$
$y = [mm] -\bruch{1}{3}*x^4$ [/mm]

Fertig :-)