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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:45 So 12.01.2014 | | Autor: | bettyr |
Hi,
in meinem Skript steht folgendes:
[mm] $\forall [/mm] A [mm] \in O_n(\IR) [/mm] gilt: [mm] ||Ax||=\sqrt{\langle Ax, Ax \rangle}=\sqrt{\langle A^{T}Ax, x \rangle}=\sqrt{\langle x, x \rangle}=||x||$
[/mm]
Laut Definition darf ich ja folgendes machen:
[mm] $\langle [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y [mm] \rangle=\langle \lambda [/mm] x, y [mm] \rangle \forall \lambda \in [/mm] K$
Warum muss ich aber nun die Matrix transponieren, wenn ich sie "rüberziehe"?
Hoffe mir kann das jemand kurz erläutern.
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Machen wir es mal anschaulich mit dem Standardskalarprodukt im euklidischen Raum:
Mit [mm] $A\in [/mm] O(n)$ auch $A^TA=E$ und $A$ ist eine Isometrie im euklidischen Raum, denn es gilt [mm] $(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx=x^Tx$.
[/mm]
Und jetzt schreib dir das mal mit der Skalarprodukt-Schreibweise [mm] $\lange\cdot,\cdot\rangle$
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 So 12.01.2014 | | Autor: | fred97 |
Ist B eine nxn-Matrix und sind [mm] e_1,....,e_n [/mm] die Einheitsvektoren im [mm] \IR^n, [/mm] so rechne nach
[mm] =
[/mm]
Daraus folgt dann: $<Bx,y>=<x,B^Ty>$ für x,y [mm] \in \IR^n.
[/mm]
FRED
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