Stetigkeit von lin.Abbildungen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 21:03 Sa 12.05.2007 | | Autor: | sca |
| Aufgabe | 1) Eine lineare Abbildungen zwischen normierten Vektorräume ist genau dann stetig, wenn ihre Operatornorm beschränkt ist.
2) Sei (V, ||.||) = [mm] (C^{\infty}([a,b]), ||.||_{[a,b]}), [/mm] wobei [mm] ||.||_{[a,b]} [/mm] die Supernorm auf dem Intervall [a,b] ist.
Untersuchen Sie die lineare Abbildung d: [mm] C^{\infty}([a,b]) \to C^{\infty}([a,b]) [/mm] , f [mm] \to [/mm] d(f) =f' auf Stetigkeit.
3) Seien (V1, [mm] ||.||_1) [/mm] = [mm] (C^{1}([a,b]), ||.||_{[a,b],1}) [/mm] mit [mm] ||f||_{[a,b],1} =||f||_{[a,b]} +||f'||_{[a,b]}
[/mm]
und (V2, [mm] ||.||_2) [/mm] = (C ([a,b]), [mm] ||.||_{[a,b]}). [/mm] Beweisen Sie dass, [mm] ||.||_{[a,b],1} [/mm] eine Norm ist und die Stetigkeit von [mm] d:C^{1}([a,b]) \to [/mm] C([a,b]), f [mm] \to [/mm] d(f') = f' |
Hallo, ich bin mich in verschiedene Normen und Räume total verwickelt. Und ich brauche Ratschläge.
1) Ist es genug zu zeigen, folgende Aussagen äquivalent sind :
1. A ist stetig
2. A ist in x0 stetig
3. A ist beschränkt
Und dann man zeigt, dass Operatornorm [mm] <\infty [/mm] ist ?
2) Sei für n [mm] \in \IN: f_{n} [/mm] : [a, b] t [mm] \to t_{n}.
[/mm]
Dann ist [mm] ||f_{n}||_{\infty} [/mm] = 1 für n [mm] \in \IN, [/mm] aber
[mm] ||f'_{n}||_{\infty}= [/mm] n für n [mm] \in \IN. [/mm] Folglich ist der Operator d unbeschränkt.
Stattet man den Raum [mm] C^{\infty}([a,b]) [/mm] jedoch mit der Norm
[mm] ||.||_{1}: [/mm] C [mm] \to \IR_{0}^{+} [/mm] f [mm] \to ||f||_{1} [/mm] := [mm] ||f||_{\infty} [/mm] + [mm] ||f'||_{\infty}
[/mm]
aus, dann gilt ||d*f|| = [mm] ||f'||_{\infty} \le ||f||_{\infty} [/mm] + [mm] ||f'||_{\infty} =||f||_{1} [/mm]
und d ist somit ein beschränkter linearer Operator.
Ist diese Untersuchen richtig?
3) Welsche Eingeschaften muss man in diesen Fall überprüfen?
N1-3 für gewöhnliche Norm ?
Und wie muss man die Stetigkeit beweisen?... Genau so, wie in Punkt (2)
Danke ! :)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:12 So 13.05.2007 | | Autor: | sca |
| Aufgabe | Ist der folgende linearen Abbildungen F [mm] l_{2} (\IR)\to l_{2}(\IR) [/mm] stetig ?
F(e(n)= [mm] \bruch{1}{n}*e(n) [/mm] |
es ist schlimm, dass niemand mir helfen kann. :(
wahrscheinlich, kann jemand am konkreten Beispiel die Stetigkeit erklären ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 Mi 16.05.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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