Stochastische Konvergenz < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:35 Fr 27.06.2014 | | Autor: | Cccya |
| Aufgabe | | Seien X, X' und [mm] X_{n} [/mm] jeweils [mm] R^d [/mm] - wertige Zufallsvariablen und konvergiere [mm] X_{n} [/mm] stochastisch sowohl gegen X als auch gegen X'. Zeigen Sie, dass dann X = X' fast sicher gilt. |
Stochastische Konvergenz bedeutet: [mm] P(|X_{n} [/mm] - X| [mm] \le \varepsilon) [/mm] = 1
für n --> [mm] \infty. [/mm] Mit der Dreiecksungleichung folgt daraus jeweils für n --> [mm] \infty: [/mm]
[mm] P(|X_{n}| [/mm] - |X| [mm] \le \varepsilon) [/mm] = 1
=> [mm] P(|X_{n}| \le [/mm] |X| + [mm] \varepsilon) [/mm] = 1
Analog gilt [mm] P(|X_{n} [/mm] - X'| [mm] \le \varepsilon) [/mm] = 1
=> [mm] P(|X_{n}| [/mm] - |X'| [mm] \le \varepsilon) [/mm] = 1
weil [mm] |X_{n}| \le [/mm] |X| + [mm] \varepsilon [/mm] fast sicher folgt
P(|X| + [mm] \varepsilon [/mm] - |X'| [mm] \le \varepsilon) [/mm] = 1
wegen Symmetrie ist genauso auch
P(|X'| + [mm] \varepsilon [/mm] - |X| [mm] \le \varepsilon) [/mm] = 1
für |X| - |X'| [mm] \ge [/mm] 0 folgt
P(|X| + [mm] \varepsilon [/mm] - |X'| [mm] \le \varepsilon) [/mm]
= P(|X - X'| + [mm] \varepsilon \le \varepsilon) [/mm] = 1
=> P(|X - X'| = 0) = 1
=> P(X = X') = 1
für |X| - |X'| < 0 ist |X'| - |X| [mm] \ge [/mm] 0 und damit
P(|X'| + [mm] \varepsilon [/mm] - |X| [mm] \le \varepsilon) [/mm]
= P(|X' - X| + [mm] \varepsilon \le \varepsilon) [/mm] = 1
=> P(|X' - X| = 0) = 1
=> P(X' = X) = 1
Ist das so ok? Vielen Dank im Voraus!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Mo 30.06.2014 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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