konvergenz rekursiver Folge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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hallo ihr, ich hoffe ihr könnt mir helfen..Ich lerne gerade für meine Zwischenprüfung...Und stehe grad mit Analysis auf Kriegsfuß.
Ich habe folgende Folge:
[mm] a_1 [/mm] = 2
a_(j+1)=
[mm] \bruch{a_j}{2} +\bruch{1}{a_j}
[/mm]
ZU zeigen ist, das [mm] \limes_{j \to \infty}x_j [/mm] = [mm] \wurzel{2} [/mm]
Zuerst sollen wir zeigen, dass die Folge [mm] a_j [/mm] nach oben durch [mm] \wurzel{2} [/mm] beschränkt ist, aber da habe ich schon keinen Ansatz wie ich es zeigen soll. Kann mir jemand zu dieser Aufgabe einen Tip geben?
Vielen dank im Voraus.
Sandra
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Hierbei handelt es sich um das ![[]](/images/popup.gif) Heron-Verfahren zur Berechnung von [mm]\sqrt{2}[/mm].
In der Aufgabenstellung ist wohl ein Fehler. Die Folge ist nicht nach oben, sondern nach unten durch [mm]\sqrt{2}[/mm] beschränkt. Alle Folgeglieder sind aufgrund der Rekursionsvorschrift positiv. Daher genügt es zu zeigen, daß
[mm]{a_{j+1}}^{ 2} \geq 2[/mm] für [mm]j \geq 1[/mm]
gilt ([mm]a_1 = 2 \geq \sqrt{2}[/mm] ist sowieso klar). Setze dazu für [mm]a_{j+1}[/mm] die Rekursionsbeziehung ein und forme die Ungleichung äquivalent um. Man kann sie auf die Gestalt
[mm]\left( \ldots \right)^2 \geq 0[/mm]
bringen (binomische Formel). Das ist aber sicher richtig, da Quadrate niemals negativ sind. Und wenn alle Umformungen Äquivalenzumformungen waren (wichtig! überzeuge dich davon!), ist damit auch die erste Ungleichung bewiesen.
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