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Potenzsumme
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Potenzsumme

Satz Potenzsummenformeln


Schule und Universität

Eine Potenzsumme ist eine Summe der Form

$ 1^k+2^k+3^k+\ldots+n^k $

Geschlossener Term für bestimmte Potenzsummen:

$ 1+2+3+\ldots+n=\bruch{n(n+1)}{2} $

$ 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2=\bruch{n(n+1)(2n+1)}{6} $

$ 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3=\left(\bruch{n(n+1)}{2}\right)^2 $


Beweis.

Wird im allgemeinen mit vollständiger Induktion geführt.



Auch wenn man es im Internet bestimmt irgendwo nachlesen kann, wollte ich nochmal bemerken, daß man die einfache Summenformel $ 1+2+3+\ldots+n=\bruch{n(n+1)}{2} $ auch ohne Induktion direkt herleiten kann
(Bei den Summenformeln für höhere Potenzen ist das wohl nicht mehr so einfach).


Angenommen wir wüßten für jedes n der Summe

$ \sum_{i=1}^n{i} $

welcher Wert k für diese Summe rauskommen müßte. Dann gilt doch:

$ \sum_{i=1}^n{i} = k $

Und wenn wir nun auf beiden Seiten mit 2 multiplizieren, ändert sich doch auch nichts, oder?

$ 2\sum_{i=1}^n{i} = 2k $

Aber schreiben wir die Summe doch mal aus:

$ \sum_{i=1}^n{i} = 1 + \dotsb + n = n + \dotsb + 1 $

$ = (n + 1- \red{1}) + (n + 1- \red{2}) + \dotsb + n + 1- \red{n}=\sum_{i=1}^n{(n+1-i)} $

Und das war letztlich Gauss' wunderschöne Idee, den nun gilt doch:

$ 2\sum_{i=1}^n{i} = \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{i} = \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{(n+1-i)} $

Und wegen dem Kommutativgesetz der Addition

$ a_1 + b_1 + c_1 + a_2 + b_2 + c_2 = a_1 + a_2 + b_1 + b_2 + c_1 + c_2 $

können wir nun die obigen Summen zusammenfassen:

$ \left(\sum_{i=1}^n{i}\right) + \sum_{i=1}^n{(n+1-i)} = \sum_{i=1}^n{(i+n+1-i)} = \sum_{i=1}^n{(n+1)} = \underbrace{(n+1) + \dotsb + (n+1)}_{n\text{ mal}} = n(n+1) = \red{2k} $

Und jetzt nur noch eine letzte Umformung:

$ n(n+1) = 2k \gdw k = \frac{n(n+1)}{2} $

Das war's.

Erstellt: Do 18.11.2004 von Marc
Letzte Änderung: Mi 22.02.2006 um 21:35 von informix
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